Um gás monoatômico (
) consistindo de n moles passa por um processo cíclico, que começa de um ponto A no plano (
), em que
e
. Ele primeiro expande-se para
à pressão constante, atingindo um ponto B . A pressão é então reduzida para P0 a volume constante, chegando em um ponto C. Finalmente, o gás é comprimido a uma temperatura constante, voltando ao ponto A . Encontre
em termos de PO e VO e em termos de n, PO e VO para cada processo do ciclo e para o ciclo todo. Organize seus resultados em uma tabela.
Passo 1
O enunciado descreve um ciclo termodinâmico para um gás monoatômico (com
) composto de
mols. Os pontos e processos são:
- Ponto A:
- Processo A
B: expansão isobárica (pressão constante) até com . - Processo B
C: resfriamento à volume constante até com . - Processo C
A: compressão isotérmica que leva de de volta a A.
Perguntas pedidas (para cada processo e para o ciclo todo):
- Calcular
(variação da energia interna, calor trocado, trabalho realizado pelo gás) em termos de e e também comentar em termos de .
Informações úteis extraídas do enunciado:
- Gás monoatômico:
e portanto - Pelo enunciado e pela lei dos gases ideais, os pontos A e C têm a mesma temperatura (verificaremos), permitindo que C
A seja de fato isotérmico.
Passo 2
Breve revisão das fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
- Lei dos gases ideais (para
mols):
onde
é pressão,
volume,
temperatura absoluta,
constante universal dos gases. Aqui
e
têm os significados normais.
- Energia interna de um gás ideal monoatômico:
Portanto a variação de energia interna entre dois estados vale
Observe:
depende só da variação de temperatura para gás ideal.
- Primeira lei da termodinâmica (convenção:
trabalho realizado pelo gás):
onde
é calor recebido pelo gás (positivo se entra).
- Trabalho para processos usuais:
- Isobárico (pressão constante
): - Isocórico (volume constante):
- Isotérmico para gás ideal (temperatura
constante):
Lembre: se
o log é negativo e o trabalho (pelo gás) é negativo — significa trabalho feito sobre o gás.
- Relações entre
e : usando , uma diferença de temperatura pode ser obtida a partir das diferenças de .
Com essas fórmulas vamos calcular passo a passo cada etapa do ciclo.
Passo 3
- Trabalho realizado pelo gás:
Explicação: para pressão constante multiplicamos
pela variação de volume.
- Variação de temperatura
:
Logo
- Variação da energia interna:
Observe que
cancela, então
fica expresso apenas por
.
- Calor trocado pelo gás (pela primeira lei):
Comentário em termos de
: se quisermos mostrar explicitamente a dependência com
usamos as formas intermediárias acima; no final todas as expressões reduziram-se para valores independentes de
(porque
continha
). Assim:
- Em termos de
: - Em termos de
: as mesmas quantidades podem ser escritas via e , por exemplo com , que leva ao mesmo resultado numérico.
Passo 4
- Trabalho:
porque volume fixo.
- Temperaturas:
Logo
- Variação da energia interna:
- Calor trocado:
Comentário em termos de
: novamente as expressões numéricas finais não dependem de
(pois
contém
e cancela com o
em
). Assim:
- Em termos de
: - Em termos de
: escreve-se com dado acima, que simplifica ao mesmo valor.
Passo 5
- Verificação de isotermicidade:
Portanto
. O processo C
A é realmente isotérmico à temperatura
- Variação da energia interna:
Para processo isotérmico de gás ideal,
pois
depende só de
e
não muda.
- Trabalho (pelo gás) na compressão
:
Substituímos
e os volumes:
Interpretação:
(trabalho pelo gás negativo) porque o gás é comprimido.
- Calor trocado:
Pela primeira lei,. Assim
Comentário em termos de
: a forma intermediária
depende de
e
, mas substituindo
obtivemos a expressão em termos de
sem
. Portanto:
- Em termos de
: - Em termos de
: a expressão intermediária é que simplifica ao mesmo valor sem .
Passo 6
Somamos as três etapas:
- Variação total de energia interna do ciclo:
(Isto é esperado para um ciclo: a energia interna é função de estado.)
- Trabalho total realizado pelo gás no ciclo:
- Calor total trocado no ciclo:
Pela primeira lei para o ciclo,, logo
Em termos de
: novamente essas expressões finais são independentes de
(pois o cancelamento ocorreu), então tanto em termos de
quanto em termos de
os resultados numéricos são os mesmos.
Passo 7
Aqui está o resumo para cada processo e para o ciclo (apresentei primeiro em termos de
; onde houver dependência explícita de
isto foi comentado):
-
A
B (isobárico, ): -
B
C (isocórico, ): -
C
A (isotérmico, constante, compressão ): -
Ciclo todo:
Observação final motivadora: ficou longo, mas todos esses passos são mecânicos — usar lei dos gases para obter temperaturas, depois aplicar
,
conforme o processo e
. Com prática isso entra na rotina rapidinho — você consegue! =)
Resposta
A→B:
B→C:
C→A:
Ciclo todo: