Um gás monoatômico ( \mathrm{Cv}=3 / 2 \mathrm{R} ) consistindo de n moles passa por um processo cíclico, que começa de um ponto A no plano ( \mathrm{P}, \mathrm{V} ), em que \mathrm{P}=2 \mathrm{PO} e \mathrm{V}=\mathrm{V} 0. Ele primeiro expande-se para \mathrm{V}=2 \mathrm{~V} 0 à pressão constante, atingindo um ponto B . A pressão é então reduzida para P0 a volume constante, chegando em um ponto C. Finalmente, o gás é comprimido a uma temperatura constante, voltando ao ponto A . Encontre \Delta \mathrm{U}, \mathrm{Q}, \mathrm{W} em termos de PO e VO e em termos de n, PO e VO para cada processo do ciclo e para o ciclo todo. Organize seus resultados em uma tabela.

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo termodinâmico para um gás monoatômico (com \mathrm{C}_V= \tfrac{3}{2}R) composto de n mols. Os pontos e processos são:
  • Ponto A: \;P_A=2P_0,\; V_A=V_0.
  • Processo A \to B: expansão isobárica (pressão constante) até V_B=2V_0 com P_B=2P_0.
  • Processo B \to C: resfriamento à volume constante até P_C=P_0 com V_C=2V_0.
  • Processo C \to A: compressão isotérmica que leva de (P_C,P,V_C) de volta a A.
Perguntas pedidas (para cada processo e para o ciclo todo):
  • Calcular \Delta U,\; Q,\; W (variação da energia interna, calor trocado, trabalho realizado pelo gás) em termos de P_0 e V_0 e também comentar em termos de n,P_0,V_0.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Gás monoatômico: \mathrm{C}_V=\tfrac{3}{2}R e portanto \mathrm{C}_P=\mathrm{C}_V+R=\tfrac{5}{2}R.
  • Pelo enunciado e pela lei dos gases ideais, os pontos A e C têm a mesma temperatura (verificaremos), permitindo que C \to A seja de fato isotérmico.

Passo 2

Breve revisão das fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  1. Lei dos gases ideais (para n mols):
PV = nRT,
onde P é pressão, V volume, T temperatura absoluta, R constante universal dos gases. Aqui n e R têm os significados normais.
  1. Energia interna de um gás ideal monoatômico:
U = n C_V T = n\left(\tfrac{3}{2}R\right)T = \tfrac{3}{2} n R T.
Portanto a variação de energia interna entre dois estados vale
\Delta U = n C_V \Delta T = \tfrac{3}{2} n R (T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}).
Observe: \Delta U depende só da variação de temperatura para gás ideal.
  1. Primeira lei da termodinâmica (convenção: W trabalho realizado pelo gás):
\Delta U = Q - W \quad\Longrightarrow\quad Q = \Delta U + W,
onde Q é calor recebido pelo gás (positivo se entra).
  1. Trabalho para processos usuais:
  • Isobárico (pressão constante P): \;W = \int P\,dV = P\Delta V.
  • Isocórico (volume constante): \;W=0.
  • Isotérmico para gás ideal (temperatura T constante):
W = \int_{V_i}^{V_f} P\,dV = \int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,dV = nRT\ln\!\frac{V_f}{V_i}.
Lembre: se V_f<V_i o log é negativo e o trabalho (pelo gás) é negativo — significa trabalho feito sobre o gás.
  1. Relações entre \Delta T e P,V: usando T = PV/(nR), uma diferença de temperatura pode ser obtida a partir das diferenças de PV.
Com essas fórmulas vamos calcular passo a passo cada etapa do ciclo.

Passo 3

  1. Trabalho realizado pelo gás:
W_{AB} = P\Delta V = 2P_0\bigl(2V_0 - V_0\bigr) = 2P_0 V_0.
Explicação: para pressão constante multiplicamos P pela variação de volume.
  1. Variação de temperatura \Delta T:
T_A = \frac{P_A V_A}{nR} = \frac{2P_0 V_0}{nR},\qquad T_B = \frac{P_B V_B}{nR} = \frac{2P_0\cdot 2V_0}{nR} = \frac{4P_0 V_0}{nR}.
Logo
\Delta T_{AB}=T_B-T_A=\frac{4P_0 V_0}{nR}-\frac{2P_0 V_0}{nR}=\frac{2P_0 V_0}{nR}.
  1. Variação da energia interna:
\Delta U_{AB}=nC_V\Delta T_{AB}=\tfrac{3}{2}nR\cdot\frac{2P_0 V_0}{nR}=3P_0 V_0.
Observe que nR cancela, então \Delta U_{AB} fica expresso apenas por P_0V_0.
  1. Calor trocado pelo gás (pela primeira lei):
Q_{AB}=\Delta U_{AB}+W_{AB}=3P_0 V_0 + 2P_0 V_0 = 5P_0 V_0.
Comentário em termos de n: se quisermos mostrar explicitamente a dependência com n usamos as formas intermediárias acima; no final todas as expressões reduziram-se para valores independentes de n (porque \Delta T continha 1/n). Assim:
  • Em termos de P_0,V_0: \Delta U_{AB}=3P_0V_0,\;Q_{AB}=5P_0V_0,\;W_{AB}=2P_0V_0.
  • Em termos de n,P_0,V_0: as mesmas quantidades podem ser escritas via nR e T, por exemplo \Delta U_{AB}=\tfrac{3}{2}nR\Delta T com \Delta T=\tfrac{2P_0V_0}{nR}, que leva ao mesmo resultado numérico.

Passo 4

  1. Trabalho:
W_{BC}=0,
porque volume fixo.
  1. Temperaturas:
T_B=\frac{4P_0 V_0}{nR}\quad(\text{já calculado}),\qquad T_C=\frac{P_C V_C}{nR}=\frac{P_0\cdot 2V_0}{nR}=\frac{2P_0 V_0}{nR}.á
Logo \Delta T_{BC}=T_C-T_B = -\dfrac{2P_0V_0}{nR}.
  1. Variação da energia interna:
\Delta U_{BC}=nC_V\Delta T_{BC}=\tfrac{3}{2}nR\cdot\left(-\frac{2P_0V_0}{nR}\right) = -3P_0 V_0.
  1. Calor trocado:
Q_{BC}=\Delta U_{BC}+W_{BC} = -3P_0 V_0 + 0 = -3P_0 V_0.
Comentário em termos de n: novamente as expressões numéricas finais não dependem de n (pois \Delta T contém 1/n e cancela com o n em nC_V). Assim:
  • Em termos de P_0,V_0: \Delta U_{BC}=-3P_0V_0,\;Q_{BC}=-3P_0V_0,\;W_{BC}=0.
  • Em termos de n,P_0,V_0: escreve-se \Delta U_{BC}=\tfrac{3}{2}nR\Delta T com \Delta T dado acima, que simplifica ao mesmo valor.

Passo 5

  1. Verificação de isotermicidade:
T_C=\frac{P_C V_C}{nR}=\frac{P_0\cdot 2V_0}{nR}=\frac{2P_0 V_0}{nR},
T_A=\frac{P_A V_A}{nR}=\frac{2P_0\cdot V_0}{nR}=\frac{2P_0 V_0}{nR}.
Portanto T_C=T_A. O processo C \toA é realmente isotérmico à temperatura
T = \frac{2P_0 V_0}{nR}.
  1. Variação da energia interna:
    Para processo isotérmico de gás ideal,
\Delta U_{CA}=0,
pois U depende só de T e T não muda.
  1. Trabalho (pelo gás) na compressão V_C=2V_0 \to V_A=V_0:
W_{CA}=nRT\ln\frac{V_A}{V_C}.
Substituímos T e os volumes:
W_{CA}=nR\cdot\frac{2P_0 V_0}{nR}\ln\frac{V_0}{2V_0} =2P_0 V_0 \ln\frac{1}{2} =-2P_0 V_0 \ln 2.
Interpretação: W_{CA}<0 (trabalho pelo gás negativo) porque o gás é comprimido.
  1. Calor trocado:
    Pela primeira lei, \Delta U_{CA}=0\Rightarrow Q_{CA}=W_{CA}. Assim
Q_{CA}=-2P_0 V_0 \ln 2.
Comentário em termos de n: a forma intermediária W_{CA}=nRT\ln(V_A/V_C) depende de n e T, mas substituindo T obtivemos a expressão em termos de P_0,V_0 sem n. Portanto:
  • Em termos de P_0,V_0: \Delta U_{CA}=0,\;W_{CA}=-2P_0V_0\ln 2,\;Q_{CA}=-2P_0V_0\ln 2.
  • Em termos de n,P_0,V_0: a expressão intermediária é W_{CA}=nR\cdot\frac{2P_0V_0}{nR}\ln(1/2) que simplifica ao mesmo valor sem n.

Passo 6

Somamos as três etapas:
  1. Variação total de energia interna do ciclo:
\Delta U_{\text{ciclo}}=\Delta U_{AB}+\Delta U_{BC}+\Delta U_{CA} =3P_0V_0 + (-3P_0V_0) + 0 = 0.
(Isto é esperado para um ciclo: a energia interna é função de estado.)
  1. Trabalho total realizado pelo gás no ciclo:
W_{\text{ciclo}} = W_{AB}+W_{BC}+W_{CA} = 2P_0V_0 + 0 + \bigl(-2P_0V_0\ln 2\bigr) = 2P_0V_0\,(1-\ln 2).
  1. Calor total trocado no ciclo:
    Pela primeira lei para o ciclo, \Delta U_{\text{ciclo}}=0\Rightarrow Q_{\text{ciclo}}=W_{\text{ciclo}}, logo
Q_{\text{ciclo}}=2P_0V_0\,(1-\ln 2).
Em termos de n: novamente essas expressões finais são independentes de n (pois o cancelamento ocorreu), então tanto em termos de P_0,V_0 quanto em termos de n,P_0,V_0 os resultados numéricos são os mesmos.

Passo 7

Aqui está o resumo para cada processo e para o ciclo (apresentei primeiro em termos de P_0,V_0; onde houver dependência explícita de n isto foi comentado):
  • A \to B (isobárico, P=2P_0,\;V_0\to2V_0):
    \Delta U_{AB}=3P_0V_0,\qquad Q_{AB}=5P_0V_0,\qquad W_{AB}=2P_0V_0.
  • B \to C (isocórico, V=2V_0,\;P:2P_0\to P_0):
    \Delta U_{BC}=-3P_0V_0,\qquad Q_{BC}=-3P_0V_0,\qquad W_{BC}=0.
  • C \to A (isotérmico, T constante, compressão 2V_0\to V_0):
    \Delta U_{CA}=0,\qquad Q_{CA}=-2P_0V_0\ln 2,\qquad W_{CA}=-2P_0V_0\ln 2.
  • Ciclo todo:
    \Delta U_{\text{ciclo}}=0,\qquad Q_{\text{ciclo}}=2P_0V_0(1-\ln 2),\qquad W_{\text{ciclo}}=2P_0V_0(1-\ln 2).
Observação final motivadora: ficou longo, mas todos esses passos são mecânicos — usar lei dos gases para obter temperaturas, depois aplicar \Delta U=nC_V\Delta T, W conforme o processo e Q=\Delta U+W. Com prática isso entra na rotina rapidinho — você consegue! =)

Resposta

A→B: \Delta U_{AB}=3P_0V_0,\;Q_{AB}=5P_0V_0,\;W_{AB}=2P_0V_0.
B→C: \Delta U_{BC}=-3P_0V_0,\;Q_{BC}=-3P_0V_0,\;W_{BC}=0.
C→A: \Delta U_{CA}=0,\;Q_{CA}=-2P_0V_0\ln 2,\;W_{CA}=-2P_0V_0\ln 2.
Ciclo todo: \Delta U_{\text{ciclo}}=0,\;Q_{\text{ciclo}}=2P_0V_0(1-\ln 2),\;W_{\text{ciclo}}=2P_0V_0(1-\ln 2).

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