Determine o valor de k que torna exata cada uma das seguintes EDO’s:
(2 x y^2+y e^x) d x+(2 x^2 y+k e^x-1) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
l(2xy^2 + y e^xr),dx + l(2x^2y + k e^x - 1r),dy = 0
e pede o valor de k que torna essa equação exata. Lembrando que uma equação M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 é exata se, e somente se,
partial Mpartial y(x,y) ;=;partial Npartial x(x,y)

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2xy^2 + y e^x, N(x,y) = 2x^2y + k e^x - 1
Agora calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial yl(2xy^2 + y e^xr) = 4xy + e^x,
partial Npartial x = partialpartial xl(2x^2y + k e^x - 1r) = 4xy + k e^x

Passo 3

Para exatidão, igualamos as duas derivadas:
4xy + e^x ;=;4xy + k e^x
Cancelando 4xy de ambos os lados, sobra
e^x = k e^x
Como e^xneq 0 para todo x, concluímos que
k = 1

Resposta

k = 1

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