Verifique se as seguintes funções satisfazem ou não as equações de Laplace:
f(x, y, z)=e^x sen(y)+e^y sen(z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y,z)=e^xsin(y)+e^ysin(z)
satisfaz a equação de Laplace em R^3.
Para isso, lembramos que o Laplaciano de f é
nabla^2f = fxx + fyy + fzz

Passo 2

Separamos f em dois termos:
f1(x,y,z)=e^xsin(y),
f2(x,y,z)=e^ysin(z)
Para o primeiro termo temos as segundas derivadas:
f1,xx = partial^2partial x^2l(e^xsin(y)r) = e^xsin(y),
f1,yy = partial^2partial y^2l(e^xsin(y)r) = -,e^xsin(y),
f1,zz = partial^2partial z^2l(e^xsin(y)r) = 0

Passo 3

Para o segundo termo calculamos:
f2,xx = partial^2partial x^2l(e^ysin(z)r) = 0,
f2,yy = partial^2partial y^2l(e^ysin(z)r) = e^ysin(z),
f2,zz = partial^2partial z^2l(e^ysin(z)r) = -,e^ysin(z)

Passo 4

Somando tudo, o Laplaciano de f é
nabla^2f = (f1,xx+f1,yy+f1,zz) + (f2,xx+f2,yy+f2,zz) = l(e^xsin(y)-e^xsin(y)+0r) + l(0+e^ysin(z)-e^ysin(z)r) = 0
Logo, nabla^2f=0 em R^3.

Resposta

A função f(x,y,z)=e^xsin(y)+e^ysin(z) satisfaz a equação de Laplace.

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