Determine os pontos da reta r: 2-x=\frac{1-y}{3}=z+1 que distam 3 do plano \pi: x+2 y-2 z+6=0.
Escolha uma opçăo:
a. \left(\frac{8}{3}, 3,-\frac{5}{3}\right) e \left(-\frac{4}{3},-9, \frac{7}{3}\right)
b. (2,1,-1) e \left(-\frac{2}{3},-7, \frac{5}{3}\right)
c. \left(\frac{4}{3},-1,-\frac{1}{3}\right) e (0,-5,1)
d. \left(\frac{7}{3}, 2,-\frac{4}{3}\right) e (-1,-8,2)
e. \left(\frac{5}{3}, 0,-\frac{2}{3}\right) e \left(-\frac{1}{3},-6, \frac{4}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede os pontos da reta
r:2-x=\frac{1-y}{3}=z+1
que distam 3 unidades do plano
\pi:x+2y-2z+6=0.
O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos parametrizar a reta e usar a fórmula da distância de um ponto ao plano.

Passo 2

Para parametrizar r, igualamos
2 - x = \frac{1 - y}{3} = z + 1 = t.
Dessa forma
x = 2 - t,\quad y = 1 - 3t,\quad z = t - 1.

Passo 3

A distância de (x_0,y_0,z_0) ao plano Ax+By+Cz+D=0 é
\frac{\bigl|Ax_0+By_0+Cz_0+D\bigr|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
Aqui A=1, B=2, C=-2, D=6, logo \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=3. Impomos
\frac{\bigl|x+2y-2z+6\bigr|}{3}=3 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|x+2y-2z+6\bigr|=9.

Passo 4

Substituindo x=2-t, y=1-3t, z=t-1 no numerador:
x+2y-2z+6 = (2-t)+2(1-3t)-2(t-1)+6 = 12 - 9t.
Então
\bigl|12-9t\bigr|=9
gera 12-9t=9\Rightarrow t=\tfrac13 ou 12-9t=-9\Rightarrow t=\tfrac{7}{3}.
Para t=\tfrac13 vem
P_1=\Bigl(2-\tfrac13,\;1-1,\;\tfrac13-1\Bigr)=\Bigl(\tfrac{5}{3},0,-\tfrac{2}{3}\Bigr),
e para t=\tfrac{7}{3} vem
P_2=\Bigl(2-\tfrac{7}{3},\;1-7,\;\tfrac{7}{3}-1\Bigr)=\Bigl(-\tfrac{1}{3},-6,\tfrac{4}{3}\Bigr).

Passo 5

Comparando com as alternativas, a única que coincide é a letra (e).

Resposta

(e) \bigl(\tfrac{5}{3},0,-\tfrac{2}{3}\bigr) e \bigl(-\tfrac{1}{3},-6,\tfrac{4}{3}\bigr)

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