Determine o valor de m e n para que os trếs planos \pi_{1}:-x+2 y-3 z+5=0, \pi_{2}: 2 x-4 y-4 z+7=0 e \pi_{3}: m x-8 y-18 z+n=0 se intersectem ao longo de uma reta.
Escolha uma opção:
a. m=4 e n \neq 31
  • b. m=8 e n \neq 11
    c. m=8 e n=11
  • d. m \neq 8 e n qualquer valor real
  • e. m \neq 4 e n qualquer valor real
    f. m=4 e n=31

Passo 1

Resumo do enunciado: temos os planos
\pi_1: -x + 2y - 3z + 5 = 0,
\pi_2: 2x - 4y - 4z + 7 = 0 e
\pi_3: m x - 8y - 18z + n = 0.
Conteúdo: para que três planos intersectem ao longo de uma reta, seus vetores normais devem ser linearmente dependentes (posto dos normais = 2) e a combinação que gera o terceiro plano deve ser consistente (posto do sistema ampliado = 2).

Passo 2

Condição de dependência linear dos normais
(m,\,-8,\,-18) \;=\;\alpha\,(-1,2,-3)\;+\;\beta\,(2,-4,-4).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2\alpha -4\beta = -8,\\\\ -3\alpha -4\beta = -18. \end{cases}
Da primeira equação vem \alpha -2\beta = -4. Multiplicando por 3 e subtraindo da segunda achamos \beta=3 e depois \alpha=2. Logo
m = -\alpha + 2\beta = -2 + 6 = 4.

Passo 3

Consistência da combinação: a equação de \pi_3 deve coincidir com
2\,(-x+2y-3z+5)\;+\;3\,(2x-4y-4z+7) \;=\;4x -8y -18z + 31 = 0.
Para que \pi_3 seja exatamente essa combinação (e assim contenha a reta de interseção de \pi_1 e \pi_2), precisamos de n=31.

Resposta

m = 4 e n = 31

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