Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas retas e curvas indicadas.
y=x e y=\sqrt{x}, em torno da reta y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y=1, da região plana limitada pelas curvas y=x e y=\sqrt{x}. O conteúdo aqui é o método dos discos (ou anéis), em que vamos expressar o volume como
V = \pi \int_{a}^{b} \bigl[R_{\text{externo}}(x)^2 - R_{\text{interno}}(x)^2\bigr]\,dx.

Passo 2

Primeiro identificamos os pontos de interseção de y=x e y=\sqrt{x}. Resolvendo
x=\sqrt{x}
temos x^2=x, ou seja x=0 ou x=1. Logo, a região vai de x=0 a x=1, com y=\sqrt{x} acima e y=x abaixo.

Passo 3

Ao girar em torno de y=1, cada seção perpendicular ao eixo x é um anel com
R_{\text{externo}}(x)=\bigl|1 - y_{\text{inferior}}\bigr|=1 - x, \qquad R_{\text{interno}}(x)=\bigl|1 - y_{\text{superior}}\bigr|=1 - \sqrt{x},
pois em [0,1] vale \sqrt{x}\ge x, logo 1-\sqrt{x}\le1-x.

Passo 4

Montamos o integral de volume:
V=\pi\int_{0}^{1}\Bigl[(1-x)^2 - (1-\sqrt{x})^2\Bigr]\,dx.
Expandindo o integrando:
(1-x)^2 - (1-\sqrt{x})^2 = \bigl(1 - 2x + x^2\bigr) - \bigl(1 - 2\sqrt{x} + x\bigr) = x^2 -3x +2\sqrt{x}.

Passo 5

Calculamos
\int_{0}^{1} \bigl(x^2 -3x +2\sqrt{x}\bigr)\,dx = \Bigl[\tfrac{1}{3}x^3 - \tfrac{3}{2}x^2 + \tfrac{4}{3}x^{3/2}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{3} - \tfrac{3}{2} + \tfrac{4}{3} = \tfrac{1}{6}.
Multiplicando por \pi, obtemos V=\pi\cdot\tfrac{1}{6}.

Resposta

V = \frac{\pi}{6}.

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