Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Em seguida, calcule a área da região.
y=x^{2}-2 e y=2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano limitada pela parábola \;y = x^{2} - 2 e pela reta horizontal \;y = 2.
O conteúdo é cálculo de área de uma região plana usando integração. Vamos precisar:
  1. Encontrar os pontos de interseção das curvas.
  2. Decidir se é mais simples integrar em x (região tipo I) ou em y (região tipo II).
  3. Montar e calcular a integral correspondente.

Passo 2

Primeiro achamos onde as curvas se cruzam. Igualamos
x^{2} - 2 = 2
x^{2} = 4
x = \pm 2.
Logo a região está entre x=-2 e x=2, com o “fundo” dado por y = x^{2}-2 e o “teto” por y=2.

Passo 3

Como para cada x\in[-2,2] o y varia de x^{2}-2 até 2, fica natural usar integração em x. A área será
\int_{x=-2}^{2}\bigl[\;2 - (x^{2}-2)\bigr]\,dx.
Note que 2 - (x^{2}-2)=4 - x^{2}.

Passo 4

Calculamos
\int_{-2}^{2}(4 - x^{2})\,dx = \bigl[\,4x - \tfrac{x^{3}}{3}\bigr]_{-2}^{2}.
Avaliações:
em x=2 4\cdot2 - \tfrac{2^{3}}{3}=8 - \tfrac{8}{3},
em x=-2 4\cdot(-2) - \tfrac{(-2)^{3}}{3}=-8 + \tfrac{8}{3}.
Subtraindo:
\Bigl(8 - \tfrac{8}{3}\Bigr)\;-\;\Bigl(-8 + \tfrac{8}{3}\Bigr) =16 - \tfrac{16}{3} =\tfrac{48 - 16}{3} =\tfrac{32}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \tfrac{32}{3}.

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