Sendo os vetores u=(4,4,0), v=(-3,5,0) e w=(1,3, z) vértices de um paralelepípedo de volume 192 u v., determinar o valor de z.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
vec u=(4,4,0), vec v=(-3,5,0) e vec w=(1,3,z)
que formam um paralelepípedo de volume 192 unidades de volume.
O conteúdo aqui é produto misto de vetores, pois o volume de um paralelepípedo gerado por vec u,vec v,vec w é
V = l|det[vec u,vec v,vec w]r| = l|vec ucdot(vec vtimesvec w)r|

Passo 2

Vamos escrever explicitamente o determinante da matriz cujas colunas são vec u,vec v,vec w:
det 4 & -3 & 1 4 & 5 & 3 0 & 0 & z

Passo 3

Calculando o determinante por expansão na terceira linha:
det 4 & -3 & 1 4 & 5 & 3 0 & 0 & z = z, det 4 & -3 4 & 5 = zl(4cdot5 -(-3)cdot4r) = z(20+12) = 32z

Passo 4

O volume é o valor absoluto desse determinante, e deve ser 192:
|32z| = 192 Longrightarrow |z| = 19232 = 6 Longrightarrow z = 6 ou z = -6

Resposta

z = 6 ou z = -6.

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