Determine os valores de
seja derivável em
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede duas coisas:
- Determinar os valores de
e para que seja derivável em . - Com esses valores, encontrar
tal que .
Informações relevantes fornecidas: as expressões das duas ramificações da função (uma linear para
e uma quadrática para
) e o ponto onde queremos derivabilidade,
. A solução a seguir vai usar essas expressões avaliadas em
e as derivadas das duas expressões.]
Passo 2
Conceitos essenciais (explicação didática e simples):
- Para uma função ser derivável em um ponto, primeiro ela precisa ser contínua nesse ponto. Continuidade em
significa que o limite pela esquerda em é igual ao limite pela direita em e igual ao valor da função em . - Se a função é por partes com definição diferente à esquerda e à direita de
, a continuidade dá uma equação que relaciona e . - Derivabilidade em
exige, além da continuidade, que as derivadas laterais (a derivada da expressão da esquerda avaliada em e a derivada da expressão da direita avaliada em ) sejam iguais. - Derivada de uma função linear
é . Derivada de é . Vou usar isso para escrever a condição de igualdade das derivadas em .
Passo 3
Impondo continuidade em
. Avalio as duas expressões em
e igualo:
valor pela esquerda:
valor pela direita (e valor efetivo em , porque a definição para
vale em
):
Igualando:
valor pela esquerda:
valor pela direita (e valor efetivo em
Igualando:
Agora organizo essa equação:
Logo a equação de continuidade é
Passo 4
Impondo igualdade das derivadas laterais em
.
Derivada à esquerda: a expressão é linear , então
Derivada à esquerda: a expressão é linear
Derivada à direita: a expressão é
, cuja derivada é
. Avaliando em
:
Igualando as derivadas para ter diferenciabilidade:
Passo 5
Resolvo o sistema formado pelas duas equações obtidas:
Substituo
na primeira:
Faço as contas passo a passo:
Isolando
:
Agora
Verificação rápida (continuidade):
e
. Conferiu. Verificação das derivadas:
e
. Conferiu. Portanto
Passo 6
Com
e
, escrevo a função
explicitamente nas duas partes:
para :
para
para
:
Agora preciso achar
tal que
. Vou analisar cada ramo e verificar quais soluções pertencem ao domínio daquele ramo.
Passo 7
Resolver
para o ramo
:
Equação
Equação
Mas
não satisfaz a condição
. Logo não há solução válida neste ramo.
Passo 8
Resolver
para o ramo
:
Equação quadrática
Equação quadrática
Uso a fórmula quadrática. O discriminante é
As raízes são
Agora verifico quais raízes satisfazem
:
-
. Como , tem . Esta raiz é válida para o ramo . -
. Aqui , então mesmo sendo raiz da quadrática, ela não pertence ao domínio onde essa expressão é usada; além disso, em a definição efetiva de seria a da parte , que não zera em . Portanto não é solução da equação considerando a função por partes.
Logo a única solução válida é