Determine os valores de a\) e \(b\) para que a funçāo \[g(x)= \begin{cases}a x+2 b, & \text { se } x<1 \\\ x^{2}+b x-a, & \text { se } x \geq 1\end{cases}
seja derivável em x=1\]. Neste caso, determine \(p tal que g(p)=0.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
g(x)= \begin{cases}a x+2 b, & \text{se } x<1, \\[4pt] x^{2}+b x-a, & \text{se } x \geq 1,\end{cases}
e pede duas coisas:
  1. Determinar os valores de a e b para que g seja derivável em x=1.
  2. Com esses valores, encontrar p tal que g(p)=0.
Informações relevantes fornecidas: as expressões das duas ramificações da função (uma linear para x<1 e uma quadrática para x\ge 1) e o ponto onde queremos derivabilidade, x=1. A solução a seguir vai usar essas expressões avaliadas em x=1 e as derivadas das duas expressões.]

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação didática e simples):
  • Para uma função ser derivável em um ponto, primeiro ela precisa ser contínua nesse ponto. Continuidade em x=1 significa que o limite pela esquerda em 1 é igual ao limite pela direita em 1 e igual ao valor da função em 1.
  • Se a função é por partes com definição diferente à esquerda e à direita de 1, a continuidade dá uma equação que relaciona a e b.
  • Derivabilidade em x=1 exige, além da continuidade, que as derivadas laterais (a derivada da expressão da esquerda avaliada em 1 e a derivada da expressão da direita avaliada em 1) sejam iguais.
  • Derivada de uma função linear ax+2b é a. Derivada de x^2+bx-a é 2x+b. Vou usar isso para escrever a condição de igualdade das derivadas em x=1.

Passo 3

Impondo continuidade em x=1. Avalio as duas expressões em x=1 e igualo:
valor pela esquerda: \;a\cdot 1 + 2b = a + 2b.
valor pela direita (e valor efetivo em x=1, porque a definição para x\ge1 vale em 1): \;1^{2} + b\cdot 1 - a = 1 + b - a.
Igualando:
a + 2b = 1 + b - a.
Agora organizo essa equação:
a + 2b + a - b - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2a + b - 1 = 0.
Logo a equação de continuidade é
2a + b = 1.

Passo 4

Impondo igualdade das derivadas laterais em x=1.
Derivada à esquerda: a expressão é linear ax+2b, então
g'_-(1)=a.
Derivada à direita: a expressão é x^{2}+bx-a, cuja derivada é 2x+b. Avaliando em x=1:
g'_+(1)=2\cdot 1 + b = 2 + b.
Igualando as derivadas para ter diferenciabilidade:
a = 2 + b.

Passo 5

Resolvo o sistema formado pelas duas equações obtidas:
\begin{cases} 2a + b = 1,\\[4pt] a = 2 + b. \end{cases}
Substituo a=2+b na primeira:
2(2+b) + b = 1.
Faço as contas passo a passo:
4 + 2b + b = 1 \quad\Longrightarrow\quad 4 + 3b = 1.
Isolando b:
3b = 1 - 4 = -3 \quad\Longrightarrow\quad b = -1.
Agora a = 2 + b = 2 + (-1) = 1.
Verificação rápida (continuidade): a+2b = 1 + 2(-1) = -1 e 1+b-a = 1-1-1 = -1. Conferiu. Verificação das derivadas: g'_-(1)=a=1 e g'_+(1)=2+b=2-1=1. Conferiu. Portanto
a=1,\qquad b=-1.]

Passo 6

Com a=1 e b=-1, escrevo a função g explicitamente nas duas partes:
para x<1:
g(x)=a x+2 b = 1\cdot x + 2(-1) = x - 2.
para x\ge 1:
g(x)=x^{2}+b x-a = x^{2} - x - 1.
Agora preciso achar p tal que g(p)=0. Vou analisar cada ramo e verificar quais soluções pertencem ao domínio daquele ramo.

Passo 7

Resolver g(x)=0 para o ramo x<1:
Equação
x - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.
Mas x=2 não satisfaz a condição x<1. Logo não há solução válida neste ramo.

Passo 8

Resolver g(x)=0 para o ramo x\ge 1:
Equação quadrática
x^{2} - x - 1 = 0.
Uso a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = (-1)^{2} - 4\cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5.
As raízes são
x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
Agora verifico quais raízes satisfazem x\ge 1:
  • x_{1} = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}. Como \sqrt{5}\approx 2,236, tem x_{1}\approx 1,618>1. Esta raiz é válida para o ramo x\ge1.
  • x_{2} = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}. Aqui x_{2}\approx -0,618<1, então mesmo sendo raiz da quadrática, ela não pertence ao domínio x\ge1 onde essa expressão é usada; além disso, em x_{2} a definição efetiva de g seria a da parte x<1, que não zera em x_{2}. Portanto x_{2} não é solução da equação g(x)=0 considerando a função por partes.
Logo a única solução válida é
p = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Resposta

a=1,\; b=-1
p=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}

Exercícios relacionados