Dizemos que uma funçāo f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} é par se f(x)=f(-x), para todo x \in \mathbb{R} e dizemos que f é ímpar se f(-x)=-f(x), para todo x \in \mathbf{R}. Suponha que f é uma funçāo diferenciável. Mostre que:
Se f é par, entāo f^{\prime} é ímpar.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Dada uma função f:\mathbf{R}\to\mathbf{R} diferenciável (ou seja, f tem derivada em todo \mathbf{R}).
  • É dada a hipótese de que f é par, isto é, para todo x\in\mathbf{R} vale \,f(x)=f(-x).
  • O que devemos mostrar: que a derivada f' é ímpar, isto é, que para todo x\in\mathbf{R} vale \,f'(-x)=-f'(x).

Passo 2

Vamos lembrar uma regra básica de diferenciação que vamos usar: a regra da cadeia.
A regra da cadeia diz que, se f é diferenciável em um ponto e g é diferenciável em um ponto, então a composição f\circ g é diferenciável e
\frac{d}{dx}\bigl(f(g(x))\bigr)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui f'(g(x)) significa a derivada de f avaliada em g(x), e g'(x) é a derivada de g em x.
No nosso caso usaremos g(x)=-x. Note que g'(x)=\dfrac{d}{dx}(-x)=-1. Isso é porque a derivada de x é 1 e o sinal menos sai como fator.

Passo 3

Partimos da identidade dada pela paridade:
f(x)=f(-x),\qquad\text{para todo }x\in\mathbf{R}.
Como f é diferenciável e a função x\mapsto -x também é diferenciável, podemos diferenciar os dois lados da igualdade em relação a x.
Diferenciando o lado esquerdo temos, por definição, \dfrac{d}{dx}f(x)=f'(x).
Diferenciando o lado direito usamos a regra da cadeia com g(x)=-x:
\frac{d}{dx}f(-x)=f'(-x)\cdot\frac{d}{dx}(-x)=f'(-x)\cdot(-1)=-f'(-x).

Passo 4

Igualando as derivadas dos dois lados obtemos
f'(x)=-f'(-x),
para todo x\in\mathbf{R}. Reescrevendo essa igualdade fica
f'(-x)=-f'(x),
para todo x\in\mathbf{R}. Essa é exatamente a definição de função ímpar aplicada a f'.

Passo 5

Um comentário extra e um exemplo para fixar a ideia (isso ajuda na prova): se f é par então necessariamente f'(0)=0. Para ver isso, coloque x=0 na igualdade f'(x)=-f'(-x) e obtenha f'(0)=-f'(0), ou seja 2f'(0)=0\Rightarrow f'(0)=0.
Exemplo concreto: f(x)=x^2 é par porque f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x). A derivada é f'(x)=2x, que é ímpar porque f'(-x)=2(-x)=-2x=-f'(x).

Passo 6

Concluímos então de forma direta e limpa: a condição de paridade de f transforma-se em uma relação anti-simétrica entre os valores de f', provando que f' é ímpar. Vai dar certo na prova — respira fundo e lembra desse passo da regra da cadeia!

Resposta

\,f'(-x)=-f'(x) para todo x\in\mathbf{R}, isto é, f' é ímpar.

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