Dizemos que uma funçāo
é par se
, para todo
e dizemos que
é ímpar se
, para todo
. Suponha que
é uma funçāo diferenciável. Mostre que:
Se
é par, entāo
é ímpar.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
- Dada uma função
diferenciável (ou seja, tem derivada em todo ). - É dada a hipótese de que
é par, isto é, para todo vale . - O que devemos mostrar: que a derivada
é ímpar, isto é, que para todo vale .
Passo 2
Vamos lembrar uma regra básica de diferenciação que vamos usar: a regra da cadeia.
A regra da cadeia diz que, se é diferenciável em um ponto e
é diferenciável em um ponto, então a composição
é diferenciável e
A regra da cadeia diz que, se
Aqui
significa a derivada de
avaliada em
, e
é a derivada de
em
.
No nosso caso usaremos . Note que
. Isso é porque a derivada de
é
e o sinal menos sai como fator.
No nosso caso usaremos
Passo 3
Partimos da identidade dada pela paridade:
Como
é diferenciável e a função
também é diferenciável, podemos diferenciar os dois lados da igualdade em relação a
.
Diferenciando o lado esquerdo temos, por definição, .
Diferenciando o lado direito usamos a regra da cadeia com :
Diferenciando o lado esquerdo temos, por definição,
Diferenciando o lado direito usamos a regra da cadeia com
Passo 4
Igualando as derivadas dos dois lados obtemos
para todo
. Reescrevendo essa igualdade fica
para todo
. Essa é exatamente a definição de função ímpar aplicada a
.
Passo 5
Um comentário extra e um exemplo para fixar a ideia (isso ajuda na prova): se
é par então necessariamente
. Para ver isso, coloque
na igualdade
e obtenha
, ou seja
.
Exemplo concreto: é par porque
. A derivada é
, que é ímpar porque
.
Exemplo concreto:
Passo 6
Concluímos então de forma direta e limpa: a condição de paridade de
transforma-se em uma relação anti-simétrica entre os valores de
, provando que
é ímpar. Vai dar certo na prova — respira fundo e lembra desse passo da regra da cadeia!