Determine os valores abaixo.
\operatorname{sec} \left(\operatorname{tg}^{-1} 1+\operatorname{cosec}^{-1} 1\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de
\operatorname{sec}\!\left(\operatorname{tg}^{-1}1+\operatorname{cosec}^{-1}1\right).
Informações dadas (explícitas no enunciado): \operatorname{tg}^{-1}1 e \operatorname{cosec}^{-1}1 aparecem somadas dentro da função \operatorname{sec}. Não há outras informações ou figuras.

Passo 2

Vamos entender o que cada função inversa significa e quais são os valores principais que usamos.
  • \operatorname{tg}^{-1}x é o ângulo \theta tal que \tan\theta=x. O valor principal de \operatorname{tg}^{-1} está em \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).
  • \operatorname{cosec}^{-1}x (ou \operatorname{arccsc}x) é o ângulo \varphi tal que \csc\varphi=x, ou seja, \sin\varphi=\tfrac{1}{x}. O intervalo principal mais comum para \operatorname{cosec}^{-1} é \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\}.
    Aqui vou usar essas convenções de intervalo para escolher os valores das inversas (são as convenções padrão em cálculo).

Passo 3

Calcular \operatorname{tg}^{-1}1. Procuramos \theta tal que \tan\theta=1 e \theta\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).
Num triângulo retângulo isósceles com catetos iguais, \tan\theta=\dfrac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}=1, então \theta=\tfrac{\pi}{4}. Logo
\operatorname{tg}^{-1}1=\tfrac{\pi}{4}.
Também anotamos os valores de seno e cosseno desse ângulo:
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Calcular \operatorname{cosec}^{-1}1. Procuramos \varphi tal que \csc\varphi=1, ou seja \sin\varphi=1, com \varphi no intervalo principal \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\}. O único ângulo nesse intervalo com seno igual a 1 é \varphi=\tfrac{\pi}{2}. Logo
\operatorname{cosec}^{-1}1=\tfrac{\pi}{2}.
E os valores de seno e cosseno desse ângulo são
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,\qquad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0.

Passo 5

Somamos os ângulos encontrados:
\operatorname{tg}^{-1}1+\operatorname{cosec}^{-1}1=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{3\pi}{4}.

Passo 6

Queremos \operatorname{sec}\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right). Lembrando que \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, então primeiro calculamos \cos\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right). Podemos usar a identidade de soma:
\cos\!(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B.
Tomando A=\tfrac{\pi}{4} e B=\tfrac{\pi}{2}, e usando os valores de \sin e \cos conhecidos:
\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) =\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 1 =-\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Agora a secante é o recíproco do cosseno:
\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)=\frac{1}{\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)}=\frac{1}{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=-\sqrt{2}.

Resposta

-\sqrt{2}

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