Informações dadas: \;y é o produto de duas funções de x: \ln\!\big(\operatorname{tg}^{-1} x\big) e \operatorname{cosec}^{-1} x.
O domínio fornecido é x>1 (isso nos permitirá simplificar o sinal absoluto na derivada de \operatorname{cosec}^{-1} x).
Objetivo: calcular \dfrac{dy}{dx}.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): usamos a regra do produto. Se y=u(x)\,v(x), então
Como no enunciado temos x>1, temos |x|=x. Portanto, para nosso caso
v'(x)=-\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}.
Observação didática: o termo \sqrt{x^{2}-1} aparece porque a função inversa da cosecante envolve a relação trigonométrica \csc^{-1}x=\arcsin(1/x) e, ao derivar, surge \sqrt{x^{2}-1} no denominador; o sinal absoluto trata o fato de que a derivada muda conforme o sinal de x, mas para x>1 fica simplesmente x.
Passo 5
Aplicando a regra do produto \dfrac{dy}{dx}=u'v+uv' e substituindo u',v,u,v' obtidos:
Esse é um formato conveniente para a prova: mostra cada contribuição (do termo logarítmico e do termo \operatorname{cosec}^{-1} x) de forma separada e explícita.