Encontre a derivada de y em relação à variável apropriada
y=\ln \left(\operatorname{tg}^{-1} x\right) \operatorname{cosec}^{-1} x, x>1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y em relação à variável apropriada (ou seja, x) para a função
y=\ln\!\big(\operatorname{tg}^{-1} x\big)\,\operatorname{cosec}^{-1} x,\qquad x>1.
Informações dadas:
\;y é o produto de duas funções de x: \ln\!\big(\operatorname{tg}^{-1} x\big) e \operatorname{cosec}^{-1} x.
O domínio fornecido é x>1 (isso nos permitirá simplificar o sinal absoluto na derivada de \operatorname{cosec}^{-1} x).
Objetivo: calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): usamos a regra do produto. Se y=u(x)\,v(x), então
\frac{dy}{dx}=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui definimos
u(x)=\ln\!\big(\operatorname{tg}^{-1} x\big),\qquad v(x)=\operatorname{cosec}^{-1} x.
Também vamos usar a regra da cadeia para funções compostas e as derivadas conhecidas das inversas trigonométricas e do logaritmo.

Passo 3

Derivada de u(x)=\ln\!\big(\operatorname{tg}^{-1} x\big).
Regra usada: derivada do logaritmo composto. Se u(x)=\ln(w(x)) então u'(x)=\dfrac{w'(x)}{w(x)}.
Aqui w(x)=\operatorname{tg}^{-1} x. A derivada conhecida é
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}^{-1} x=\frac{1}{1+x^{2}}.
Aplicando a regra da cadeia,
u'(x)=\frac{1}{\operatorname{tg}^{-1} x}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{1}{(1+x^{2})\,\operatorname{tg}^{-1} x}.

Passo 4

Derivada de v(x)=\operatorname{cosec}^{-1} x.
Derivada conhecida (forma geral):
\frac{d}{dx}\operatorname{cosec}^{-1} x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}.
Como no enunciado temos x>1, temos |x|=x. Portanto, para nosso caso
v'(x)=-\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}.
Observação didática: o termo \sqrt{x^{2}-1} aparece porque a função inversa da cosecante envolve a relação trigonométrica \csc^{-1}x=\arcsin(1/x) e, ao derivar, surge \sqrt{x^{2}-1} no denominador; o sinal absoluto trata o fato de que a derivada muda conforme o sinal de x, mas para x>1 fica simplesmente x.

Passo 5

Aplicando a regra do produto \dfrac{dy}{dx}=u'v+uv' e substituindo u',v,u,v' obtidos:
\frac{dy}{dx} =\underbrace{\frac{1}{(1+x^{2})\,\operatorname{tg}^{-1} x}}_{u'(x)}\cdot\underbrace{\operatorname{cosec}^{-1} x}_{v(x)} \;+\;\underbrace{\ln\!\big(\operatorname{tg}^{-1} x\big)}_{u(x)}\cdot\underbrace{\left(-\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}\right)}_{v'(x)}.

Passo 6

Organizando o resultado em forma clara e simplificada (somente reescrevendo os termos):
\frac{dy}{dx} =\frac{\operatorname{cosec}^{-1} x}{(1+x^{2})\,\operatorname{tg}^{-1} x} -\frac{\ln\!\big(\operatorname{tg}^{-1} x\big)}{x\sqrt{x^{2}-1}}.
Esse é um formato conveniente para a prova: mostra cada contribuição (do termo logarítmico e do termo \operatorname{cosec}^{-1} x) de forma separada e explícita.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{\operatorname{cosec}^{-1} x}{(1+x^{2})\,\operatorname{tg}^{-1} x}-\frac{\ln\!\big(\operatorname{tg}^{-1} x\big)}{x\sqrt{x^{2}-1}}.

Exercícios relacionados