Determine os valores abaixo.
\operatorname{cosec}\left(\operatorname{sec} ^{-1} 2\right)+\cos \left(\operatorname{tg}^{-1}(-\sqrt{3})\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor de
\operatorname{cosec}\!\big(\operatorname{sec}^{-1}2\big) + \cos\!\big(\operatorname{tg}^{-1}(-\sqrt{3})\big).
Informações dadas explicitamente: os operadores inversos \operatorname{sec}^{-1} e \operatorname{tg}^{-1} (ou seja, \arcsec e \arctan) e números 2 e -\sqrt{3}. Não há figura. Vou calcular cada parcela separadamente e depois somar.

Passo 2

Entendendo e avaliando \operatorname{sec}^{-1}2.
  • Definição rápida e intuitiva: \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}. Então \operatorname{sec}^{-1}2 é um ângulo \theta tal que \operatorname{sec}\theta=2, isto é, \dfrac{1}{\cos\theta}=2.
  • Da equação acima segue \cos\theta=\dfrac{1}{2}.
  • Procurei o ângulo principal com \cos\theta=\dfrac{1}{2}. No intervalo principal de \operatorname{sec}^{-1} (ângulos entre 0 e \pi, excluindo \tfrac{\pi}{2} quando necessário), o ângulo com cosseno 1/2 é \theta=\dfrac{\pi}{3}.
  • Conclusão: \operatorname{sec}^{-1}2 = \dfrac{\pi}{3}.

Passo 3

Calcular \operatorname{cosec}\!\big(\operatorname{sec}^{-1}2\big)=\operatorname{cosec}\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big).
  • Lembrete: \operatorname{cosec}x=\dfrac{1}{\sin x}.
  • Sabemos que \cos\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\dfrac{1}{2}. Para achar \sin\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big) usamos a identidade pitagórica:
\sin^2 x = 1 - \cos^2 x.
  • Substituindo \cos^2\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\big(\tfrac{1}{2}\big)^2=\tfrac{1}{4}, obtemos
\sin^2\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
  • Como \tfrac{\pi}{3} está no primeiro quadrante, \sin é positivo, então
\sin\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Assim
\operatorname{cosec}\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\dfrac{1}{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)}=\dfrac{1}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.

Passo 4

Calcular \cos\!\big(\operatorname{tg}^{-1}(-\sqrt{3})\big).
  • Notação: \operatorname{tg}^{-1} é \arctan. O valor \arctan(-\sqrt{3}) é o ângulo cujo tangente é -\sqrt{3}.
  • A função \arctan toma valores no intervalo \big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big). Dentro desse intervalo, \arctan(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3} porque \tan\!\big(-\tfrac{\pi}{3}\big)=-\sqrt{3}.
  • Portanto precisamos de \cos\!\big(-\tfrac{\pi}{3}\big). Usando a paridade do cosseno (é uma função par):
\cos\!\big(-\tfrac{\pi}{3}\big)=\cos\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{1}{2}.
  • Conclusão: \cos\!\big(\operatorname{tg}^{-1}(-\sqrt{3})\big)=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Somar as duas parcelas encontradas.
  • Já temos
\operatorname{cosec}\!\big(\operatorname{sec}^{-1}2\big)=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \quad\text{e}\quad \cos\!\big(\operatorname{tg}^{-1}(-\sqrt{3})\big)=\dfrac{1}{2}.
  • Soma:
\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\dfrac{1}{2}.
  • Colocando em denominador comum 6:
\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4\sqrt{3}}{6},\qquad \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6},
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\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}+3}{6}.

Resposta

\dfrac{4\sqrt{3}+3}{6}

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