Determine os valores abaixo.
\operatorname{sen}\left(\operatorname{sen}^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)+\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\right)

Passo 1

O que o problema pede: calcular \displaystyle \operatorname{sen}\!\big(\operatorname{sen}^{-1}\big(-\tfrac{1}{2}\big)+\cos^{-1}\big(-\tfrac{1}{2}\big)\big).\n
Informações dadas e úteis (explicitadas): \n
  • Temos \operatorname{sen}^{-1}\big(-\tfrac{1}{2}\big), isto é, um ângulo A tal que \sin A=-\tfrac{1}{2} e A está no intervalo principal de \operatorname{sen}^{-1}, que é [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].\n
  • Temos \cos^{-1}\big(-\tfrac{1}{2}\big), isto é, um ângulo B tal que \cos B=-\tfrac{1}{2} e B está no intervalo principal de \cos^{-1}, que é [0,\pi].\n
  • O objetivo é encontrar \sin(A+B) onde A=\operatorname{sen}^{-1}\big(-\tfrac{1}{2}\big) e B=\cos^{-1}\big(-\tfrac{1}{2}\big).

Passo 2

Encontrar A=\operatorname{sen}^{-1}\big(-\tfrac{1}{2}\big).\n
Lembre que \sin\big(-\tfrac{\pi}{6}\big)=-\tfrac{1}{2}. Como o valor principal de \operatorname{sen}^{-1} está em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] e -\tfrac{\pi}{6} pertence a esse intervalo, temos
A=\operatorname{sen}^{-1}\big(-\tfrac{1}{2}\big)=-\tfrac{\pi}{6}.

Passo 3

Encontrar B=\cos^{-1}\big(-\tfrac{1}{2}\big).\n
Sabemos que \cos\big(\tfrac{2\pi}{3}\big)=-\tfrac{1}{2} e \tfrac{2\pi}{3} está no intervalo principal [0,\pi] de \cos^{-1}. Portanto
B=\cos^{-1}\big(-\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{2\pi}{3}.

Passo 4

Calcular a soma A+B.\n
Substituindo os valores encontrados,
A+B=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{2\pi}{3}=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{4\pi}{6}=\tfrac{3\pi}{6}=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Calcular \sin(A+B)=\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big).\n
Sabemos que \sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1. Então o valor pedido é 1.

Passo 6

(Aula rápida alternativa — identidade e propriedades) Vou mostrar também um caminho usando a identidade de soma para reforçar o entendimento:\n
A identidade é
\sin(u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v.
Aplicando com u=\operatorname{sen}^{-1}\big(-\tfrac{1}{2}\big) e v=\cos^{-1}\big(-\tfrac{1}{2}\big), temos \sin u=-\tfrac{1}{2} e \cos v=-\tfrac{1}{2} (essas vêm direto das definições inversas). Precisamos também de \cos u e \sin v.\n
  • Como u\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}], \cos u é positivo e \cos u=\sqrt{1-\sin^2 u}=\sqrt{1-\big(-\tfrac{1}{2}\big)^2}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.\n
  • Como v\in[0,\pi], \sin v é não negativa e \sin v=\sqrt{1-\cos^2 v}=\sqrt{1-\big(-\tfrac{1}{2}\big)^2}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.\n
    Agora compute:
\sin(u+v)=\big(-\tfrac{1}{2}\big)\big(-\tfrac{1}{2}\big)+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}=1,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

1

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