Encontre f^prime(a).
(a) f(x)=3 x^2-4 x+1
(b) f(t)=2 t^3+t
© f(t)=2 t+1t+3
(d) f(x)=x^-2
(e) f(x)=raiz1-2 x
(f) f(x)=4raiz1-x

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar a derivada genérica f'(a) de seis funções diferentes. O conteúdo principal aqui é derivação de potências, regra do quociente e regra da cadeia. Vamos precisar saber:
– Regra de potência: se f(x)=x^n, então f'(x)=n x^n-1.
– Regra do quociente: se f(x)=dfracu(x)v(x), então f'(x)=dfracu'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2.
– Regra da cadeia: se f(x)=g(h(x)), então f'(x)=g'(h(x))cdot h'(x).

Passo 2

Agora, a partir daqui, vamos derivar cada função e depois substituir x=a.
Para (a) f(x)=3x^2-4x+1 e (b) f(t)=2t^3+t: aplicamos a regra de potência termo a termo.
Para (a):
f'(x)=3cdot2x^2-1-4cdot1x^1-1=6x-4
Então f'(a)=6a-4.
Para (b):
f'(t)=2cdot3t^3-1+1=6t^2+1
Logo f'(a)=6a^2+1.

Passo 3

Para © f(t)=dfrac2t+1t+3: usamos a regra do quociente com u(t)=2t+1 e v(t)=t+3.
Calculamos u'(t)=2 e v'(t)=1, então
f'(t)=2,(t+3)-(2t+1)cdot1(t+3)^2=2t+6-2t-1(t+3)^2=5(t+3)^2
Logo f'(a)=dfrac5(a+3)^2

Passo 4

Para (d) f(x)=x^-2: é só aplicar a regra de potência com expoente -2:
f'(x)=-2,x^-3
Portanto f'(a)=-2a^-3=-dfrac2a^3

Passo 5

Para (e) f(x)=raiz1-2x=(1-2x)^1/2: usamos a regra da cadeia onde g(u)=u^1/2 e u(x)=1-2x.
Temos g'(u)=tfrac12u^-1/2 e u'(x)=-2, então
f'(x)=12(1-2x)^-1/2cdot(-2)=- (1-2x)^-1/2
Logo f'(a)=-1raiz1-2a

Passo 6

Para (f) f(x)=dfrac4raiz1-x=4(1-x)^-1/2: também usamos regra da cadeia com g(u)=4u^-1/2 e u(x)=1-x.
Aqui g'(u)=4cdot(-tfrac12)u^-3/2=-2u^-3/2 e u'(x)=-1, então
f'(x)=-2(1-x)^-3/2cdot(-1)=2(1-x)^-3/2
Portanto f'(a)=dfrac2(1-a)^3/2

Resposta

a) f'(a)=6a-4
b) f'(a)=6a^2+1
c) f'(a)=dfrac5(a+3)^2
d) f'(a)=-dfrac2a^3
e) f'(a)=-dfrac1raiz1-2a
f) f'(a)=dfrac2(1-a)^3/2

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