Determine os valores de \alpha \geq 0 para que:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\alpha}}<\infty

Passo 1

Enunciado: determinar os valores de \alpha \geq 0 tais que
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\alpha}}<\infty.
Informações dadas:
\alpha é um parâmetro real com \alpha\geq 0.
A série em questão é a soma dos termos a_k=\dfrac{1}{k^{\alpha}} para k=1,2,3,\dots.
O que se pede: para quais valores de \alpha essa série é convergente (i.e. sua soma é finita).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática do método): vou usar o Teste da Integral (também chamado teste integral) porque a sequência dos termos é dada por uma função simples f(x)=x^{-\alpha} definida em [1,\infty) e é fácil integrar essa função e analisar o comportamento para \alpha diferentes. Primeiro apresento o enunciado do teste de forma clara:
Teorema (Teste da Integral): seja f:[1,\infty)\to(0,\infty) contínua, decrescente. Se definirmos a_k=f(k), então a série \sum_{k=1}^{\infty} a_k converge se, e somente se, a integral impropria \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge (é finita). Se a integral diverge, a série diverge.
Vou verificar as hipóteses do teorema para f(x)=x^{-\alpha} e então calcular a integral e estudar sua convergência em função de \alpha.

Passo 3

Verificação das hipóteses do Teste da Integral para f(x)=x^{-\alpha}.
  • Positividade: para todo x\ge 1 e \alpha\ge 0, temos f(x)=x^{-\alpha}>0.
  • Continuidade: f(x)=x^{-\alpha} é contínua em [1,\infty) (é uma potência).
  • Monotonicidade: para \alpha>0 a derivada é
f'(x) = -\alpha x^{-\alpha-1} < 0\quad\text{para }x\ge 1,
logo f é decrescente quando \alpha>0. No caso \alpha=0 temos f(x)\equiv 1 (constante positiva); nesse caso o teste integral não exige decrescimento (mas dá para concluir divergência por comparação direta). Portanto as hipóteses estão satisfeitas para todos os \alpha>0, e o caso \alpha=0 será tratado separadamente.

Passo 4

Cálculo da integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-\alpha}\,dx para \alpha\neq 1.
Para \alpha\neq 1 calculamos a primitiva:
\int x^{-\alpha}\,dx = \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} + C,
pois a regra é \int x^{m}\,dx = \dfrac{x^{m+1}}{m+1} quando m\neq -1. Aqui m=-\alpha, então m+1=1-\alpha.
Assim, para N>1,
\int_{1}^{N} x^{-\alpha}\,dx = \left.\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right|_{1}^{N} = \frac{N^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}.
Agora analisamos o limite quando N\to\infty dependendo de \alpha.

Passo 5

Análise do limite da integral para \alpha\neq 1.
  • Se \alpha>1: então 1-\alpha<0. Logo N^{1-\alpha}\to 0 quando N\to\infty. Portanto
\int_{1}^{\infty} x^{-\alpha}\,dx = \lim_{N\to\infty}\frac{N^{1-\alpha}-1}{1-\alpha} = \frac{0-1}{1-\alpha} = \frac{1}{\alpha-1},
que é finito. Assim a integral converge quando \alpha>1.
  • Se 0\le \alpha<1: então 1-\alpha>0. Logo N^{1-\alpha}\to\infty quando N\to\infty. Portanto
\int_{1}^{\infty} x^{-\alpha}\,dx = \lim_{N\to\infty}\frac{N^{1-\alpha}-1}{1-\alpha} = +\infty,
ou seja, a integral diverge quando 0\le \alpha<1.

Passo 6

Caso \alpha=1 (especial): calcular diretamente a integral
Para \alpha=1 temos f(x)=x^{-1}=\dfrac{1}{x}. A integral é
\int_{1}^{N} \frac{1}{x}\,dx = \left.\ln x\right|_{1}^{N} = \ln N.
Ao deixar N\to\infty obtemos \ln N\to\infty, portanto
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,dx = +\infty,
ou seja, diverge. Esse é justamente o caso da série harmônica \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}, conhecida por divergir.

Passo 7

Conclusão via Teste da Integral e tratamento do caso \alpha=0.
  • Pelo Teste da Integral (aplicável para \alpha>0), a série \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^{\alpha}} converge exatamente quando a integral \int_{1}^{\infty} x^{-\alpha}\,dx converge. Pelos passos anteriores, a integral converge somente quando \alpha>1. Logo para todo \alpha>1 a série converge; para 0<\alpha\le 1 diverge.
  • Para \alpha=0 temos a_k=1 para todo k, então a série é \sum_{k=1}^{\infty}1 que claramente diverge (soma de infinitos uns). Isso é compatível com a análise anterior.
Portanto o critério final fica consistente: a série converge se e somente se \alpha>1.

Resposta

A série converge se, e somente se, \alpha>1.
A série diverge para \alpha\leq 1.

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