Determine os valores de alpha in R para que as matrizes sejam diagonalizáveis:
ll1 & alpha 0 & 1

Passo 1

Temos a matriz A = 1 & alpha0 & 1. O conteúdo é diagonalização de matrizes 2×2: vamos precisar dos autovalores e dos autovetores para comparar multiplicidades algébrica e geométrica.

Passo 2

Como A é triangular, os autovalores são as entradas da diagonal. Logo
lambda1 = 1, lambda2 = 1
o que significa que o autovalor lambda = 1 tem multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Para encontrar o espaço próprio de lambda=1, resolvemos
(A - I)x = 0 & alpha0 & 0 x1 x2 = 0 0
Isso dá a equação
alpha x2 = 0
Se alpha neq 0, então x2 = 0 e os vetores próprios têm a forma (x1,0), gerando um espaço próprio de dimensão 1. Se alpha = 0, não há restrição em x2, e a dimensão do espaço próprio é 2.

Passo 4

Para diagonalizar A precisamos que a multiplicidade geométrica do autovalor 1 seja igual à sua multiplicidade algébrica (que é 2). Isso só ocorre quando o espaço próprio tiver dimensão 2, ou seja, quando alpha = 0.

Resposta

alpha = 0

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