Verifique que os seguintes conjuntos, com operações de soma e multiplicação por escalar usuais, são espaços vetoriais:
Passo 1
Temos o conjunto V = { (a,b,c,d) ∣ a,b,c,d ∈ ℝ } com as operações usuais de soma componente a componente e multiplicação escalar. O conteúdo é a definição de espaço vetorial sobre o corpo ℝ e vamos precisar verificar todos os axiomas de espaço vetorial.
Passo 2
Mostramos que V é fechado em relação à soma e à multiplicação escalar. Se u=(a,b,c,d) e v=(a’,b’,c’,d’) estão em V, então u+v=(a+a’,b+b’,c+c’,d+d’) também tem quatro coordenadas reais, logo está em V. Se α∈ℝ e u=(a,b,c,d), então αu=(αa,αb,αc,αd) também pertence a V.
Passo 3
Verificamos que (V,+) é um grupo abeliano. Associatividade: (u+v)+w=u+(v+w) por associatividade em ℝ em cada coordenada. Elemento neutro: 0_V=(0,0,0,0) satisfaz u+0_V=u. Inverso: para u=(a,b,c,d), existe −u=(−a,−b,−c,−d) tal que u+(−u)=0_V. Comutatividade: u+v=v+u por comutatividade em cada coordenada.
Passo 4
Conferimos as propriedades da multiplicação escalar. Distributividade sobre soma de vetores: α(u+v)=αu+αv coordena a coordena. Distributividade sobre soma de escalares: (α+β)u=αu+βu. Associatividade de escalares: (αβ)u=α(βu). Identidade escalar: 1·u=u.
Passo 5
Como todos os axiomas (fechamento, grupo abeliano em + e compatibilidade do produto escalar) estão satisfeitos, concluímos que V é um espaço vetorial sobre ℝ.
Resposta
V é um espaço vetorial sobre ℝ.