Encontre a solução
1+x^4-x^8=0,

Passo 1

A equação dada é 1 + x^4 - x^8 = 0, trata-se de um polinômio de grau 8 cujas raízes podem ser reais ou complexas. Vamos usar a substituição para reduzir a ordem, depois resolver uma equação quadrática e, por fim, extrair as raízes quárticas (incluindo as complexas).

Passo 2

Fazendo a troca y = x^4, a equação original fica:
1 + y - y^2 = 0
ou, reorganizando os termos,
y^2 - y - 1 = 0
Isso transforma nosso problema em resolver uma equação quadrática em y.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara em y^2 - y - 1 = 0:
y = 1 pm raiz1^2 - 4cdot1cdot(-1)2 = 1 pm raiz52

Passo 4

Chamemos
y1 = 1 + raiz52, y2 = 1 - raiz52

Passo 5

Agora voltamos à variável x resolvendo x^4 = y1 e x^4 = y2.

Passo 6

Para x^4 = y1, observe que y1>0. Defina
r1 = y1^1/4 = l(tfrac1+raiz52r)^1/4

Passo 7

As quatro raízes de x^4 = y1 no plano complexo são
x = r1 e^ikpi2, k = 0,1,2,3

Passo 8

Para x^4 = y2, note que y2<0. Defina
r2 = |y2|^1/4 = l(tfracraiz5-12r)^1/4

Passo 9

As quatro raízes de x^4 = y2 são
x = r2 e^il(tfracpi4 + tfrackpi2r), k = 0,1,2,3

Passo 10

Reunindo, temos 8 soluções distintas no plano complexo.

Resposta

As oito raízes de 1 + x^4 - x^8 = 0 são
&x = r1 e^ikpi2, k=0,1,2,3, &x = r2 e^i(tfracpi4 + tfrackpi2), k=0,1,2,3,
onde
r1 = l(tfrac1+raiz52r)^1/4, r2 = l(tfracraiz5-12r)^1/4

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