Determine os valores de:
arctan (1+i)

Passo 1

O enunciado pede para calcular arctan(1+i), ou seja, a função arco-tangente estendida ao plano complexo. Vamos usar a fórmula geral
arctan z = 12i,ln!gl(1 + i z1 - i zgr)
e depois extrair a forma a + i b.

Passo 2

Aplicando a fórmula com z = 1+i, temos que construir os dois números
1 + i z = 1 + i(1+i), 1 - i z = 1 - i(1+i)

Passo 3

Calculemos diretamente:
1 + i(1+i) = 1 + i + i^2 = 1 + i - 1 = i,
1 - i(1+i) = 1 - i - i^2 = 1 - i + 1 = 2 - i

Passo 4

O quociente fica
Escrevemos este número em forma polar: se
então

Passo 5

Agora
ln(w) = lnl|wr| + i,arg(w) = ln!l(raiz55r) + il(pi - arctan(2)r) = -tfrac12ln(5) + il(pi - arctan(2)r)

Passo 6

Voltando à fórmula
arctan(1+i) = 12i,ln(w) = 12il[-tfrac12ln(5) + il(pi - arctan(2)r)r]
Como tfrac12i=-tfrac i2, temos
arctan(1+i) = -i2l(-tfrac12ln(5)r) ;-;i2l[il(pi - arctan(2)r)r] = i4ln(5) ;+;pi - arctan(2)2

Resposta

boxedarctan(1+i) = pi - arctan(2)2 ;+; i,ln(5)4

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