Determine os valores de:
arctan (2 i)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar arctan(2i). Aqui estamos em análise complexa e vamos usar a definição
arctan z = 12il[ln(1+i,z);-;ln(1-i,z)r]

Passo 2

Substituindo z=2i nas expressões 1+i,z e 1-i,z, obtemos
1+i,(2i)=1-2=-1,
1-i,(2i)=1+2=3

Passo 3

Logo, pela definição de arctan, temos
arctan(2i) =12il(ln(-1);-;ln(3)r)

Passo 4

No plano complexo, ln(-1) é múltiplo ímpar de pi i, ou seja ln(-1)=ipi(2k+1) com kinZ. Então
arctan(2i) =12il(ipi(2k+1)-ln(3)r)

Passo 5

Basta dividir cada termo por 2i. Lembrando que tfrac1i=-,i, obtemos
arctan(2i) =pi(2k+1)2+iln(3)2, kinZ

Resposta

arctan(2i)=pi2+kpi + iln(3)2, kinZ
Em particular, o valor principal (para k=0) é
boxedpi2+iln(3)2

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