Verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes
sumn=1^+infty (-1)^n(2 n+1)n!

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n(2n+1)n!
Isso é um problema de séries infinitas, e uma forma eficiente de testar convergência é usar o teste da razão para a série de termos absolutos, pois se ela convergir absolutamente, a série original também converge.

Passo 2

Definimos o termo geral dos valores absolutos como
an = 2n+1n!
Aplicamos então o teste da razão, calculando
L = limntoinftyan+1an = limntoinfty 2(n+1)+1(n+1)!2n+1n! = limntoinfty 2n+3(n+1)(2n+1)

Passo 3

Para n grande,
2n+3(n+1)(2n+1) = 2n,(1+3/(2n))n,(1+1/n),2n,(1+1/(2n)) longrightarrow 0
Como L=0<1, pelo teste da razão a série dos valores absolutos sum an converge.

Passo 4

A convergência absoluta implica convergência da série original. Portanto
sumn=1^infty(-1)^n(2n+1)n!
é convergente.

Resposta

A série é convergente (na verdade, converge absolutamente).

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