Determine os valores de a, b, c e d de modo que A=B, onde
A=\left[\begin{array}{rr} 3 & -1 \\\ c & 5 \end{array}\right] \quad e \quad B=\left[\begin{array}{ll} 2 a-b & a+2 b \\\\ 3 c-d & c-3 d \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a,b,c,d de modo que as matrizes
A=\begin{pmatrix}3 & -1\\\ c & 5\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix}2a-b & a+2b\\\\ 3c-d & c-3d\end{pmatrix}
sejam iguais. Para isso, usaremos o fato de que duas matrizes são iguais se, e somente se, todas as entradas correspondentes forem iguais.

Passo 2

Igualando as entradas de mesma posição, obtemos o sistema:
\begin{cases} 2a - b = 3,\\\ a + 2b = -1,\\\ c = 3c - d,\\\\ 5 = c - 3d. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação,
c = 3c - d \quad\Longrightarrow\quad d = 2c.
Substituindo isso na quarta equação:
5 = c - 3d = c - 3(2c) = -5c \quad\Longrightarrow\quad c = -1 \quad\text{e}\quad d = 2(-1) = -2.

Passo 4

Agora resolvemos para a e b. Da primeira equação,
b = 2a - 3.
Substituindo na segunda:
a + 2(2a - 3) = -1 \quad\Longrightarrow\quad 5a - 6 = -1 \quad\Longrightarrow\quad a = 1 \quad\text{e}\quad b = 2(1) - 3 = -1.

Resposta

a=1, b=-1, c=-1, d=-2.

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