Mostre, por meio de exemplos numéricos, que
Vale a associatividade: (A B) C=A(B C);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por meio de exemplos numéricos, que a multiplicação de matrizes é associativa, ou seja, que
(AB)C = A(BC).
Para isso, vamos escolher três matrizes compatíveis e calcular ambos os produtos, verificando que coincidem.

Passo 2

Escolhemos as matrizes A, B e C, todas de ordem 2\times2:
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}
B = \begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}
C = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}]

Passo 3

Calculamos primeiro o produto AB e depois (AB)C.
AB = \begin{pmatrix}1\cdot0 + 2\cdot1 & 1\cdot(-1) + 2\cdot2 \\[4pt] 3\cdot0 + 4\cdot1 & 3\cdot(-1) + 4\cdot2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 4 & 5\end{pmatrix}
Em seguida,
(AB)C = \begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 4 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot2 + 3\cdot1 & 2\cdot0 + 3\cdot3 \\[4pt] 4\cdot2 + 5\cdot1 & 4\cdot0 + 5\cdot3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 & 9 \\[4pt] 13 & 15\end{pmatrix}]

Passo 4

Agora calculamos BC e depois A(BC).
BC = \begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot2 + (-1)\cdot1 & 0\cdot0 + (-1)\cdot3 \\[4pt] 1\cdot2 + 2\cdot1 & 1\cdot0 + 2\cdot3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & -3 \\[4pt] 4 & 6\end{pmatrix}
Em seguida,
A(BC) = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & -3 \\[4pt] 4 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot(-1) + 2\cdot4 & 1\cdot(-3) + 2\cdot6 \\[4pt] 3\cdot(-1) + 4\cdot4 & 3\cdot(-3) + 4\cdot6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 & 9 \\[4pt] 13 & 15\end{pmatrix}]

Passo 5

Comparando os resultados de (AB)C e de A(BC), vemos que ambos são iguais à mesma matriz \begin{pmatrix}7 & 9 \\[4pt] 13 & 15\end{pmatrix}. Isso confirma, neste exemplo numérico, que (AB)C = A(BC), ou seja, a multiplicação de matrizes é associativa.]

Resposta

(AB)C = A(BC) = \begin{pmatrix}7 & 9 \\[4pt] 13 & 15\end{pmatrix}.]

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