Determine valores para a e b na equação y^prime=a y+b tais que o comportamento assintótico (t infty) de suas soluções seja:
y=2 é uma solução e todas as outras soluções se afastam de y=2

Passo 1

A questão pede para encontrar valores de a e b na EDO
y′=a y+b de forma que y=2 seja uma solução (ou seja, equilíbrio) e que este equilíbrio seja instável, fazendo com que todas as demais soluções se afastem de 2 quando t→∞. O conteúdo aqui é EDO linear autônoma de 1º ordem e estabilidade de ponto de equilíbrio.

Passo 2

Para que y=2 seja solução constante (equilíbrio), devemos ter y′=0 quando y=2. Substituindo em
y=a y+b
até y=2, obtemos
0=a·2+b
audando à relação
b=-2a.

Passo 3

Agora analisamos a estabilidade do equilíbrio y=2. Na EDO y′=a(y-2), o coeficiente a é o autovalor do ponto de equilíbrio. Se a>0 o equilíbrio é instável, pois soluções pequenas em torno de y=2 crescem exponencialmente e se afastam quando t→∞.

Resposta

b = -2a com a > 0.

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