Determine valores para
e
na equação
tais que o comportamento assintótico
de suas soluções seja:
é uma solução e todas as outras soluções se afastam de
Passo 1
A questão pede para encontrar valores de a e b na EDO
y′=a y+b de forma que y=2 seja uma solução (ou seja, equilíbrio) e que este equilíbrio seja instável, fazendo com que todas as demais soluções se afastem de 2 quando t→∞. O conteúdo aqui é EDO linear autônoma de 1º ordem e estabilidade de ponto de equilíbrio.
y′=a y+b de forma que y=2 seja uma solução (ou seja, equilíbrio) e que este equilíbrio seja instável, fazendo com que todas as demais soluções se afastem de 2 quando t→∞. O conteúdo aqui é EDO linear autônoma de 1º ordem e estabilidade de ponto de equilíbrio.
Passo 2
Para que y=2 seja solução constante (equilíbrio), devemos ter y′=0 quando y=2. Substituindo em
até y=2, obtemos
audando à relação
Passo 3
Agora analisamos a estabilidade do equilíbrio y=2. Na EDO y′=a(y-2), o coeficiente a é o autovalor do ponto de equilíbrio. Se a>0 o equilíbrio é instável, pois soluções pequenas em torno de y=2 crescem exponencialmente e se afastam quando t→∞.
Resposta
b = -2a com a > 0.