As equações abaixo são da forma
. Esboce o gráfico de
em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique a sua estabilidade. Esboce e discuta qualitativamente o comportamento das soluções em termos das condições iniciais.
, sendo
Passo 1
O enunciado dá uma EDO autônoma da forma y′=f(y), com f(y)=−k(y−1)² e k>0. O conteúdo é análise de equações diferenciais autônomas: vamos esboçar f(y), achar e classificar pontos de equilíbrio e desenhar qualitativamente as trajetórias y(t).
Passo 2
A função f(y)=−k(y−1)² é uma parábola em y com vértice no ponto (y=1,f=0) virada para baixo (multiplicada por −k). Em particular f(y)≤0 para todo y, e f(1)=0. No eixo y×f indicamos f(1)=0 e f decresce simetricamente de cada lado de y=1.
Passo 3
O ponto crítico (equilíbrio) vem de f(y)=0, ou seja (y−1)²=0. Logo há um único equilíbrio: y*=1.
Passo 4
Para classificar a estabilidade, olhamos o sinal de f nos lados de y=1: para y>1 temos f(y)<0, então y′<0 e as soluções se movem em direção a y=1 (atraídas pela direita). Para y<1 também f(y)<0 e as soluções continuam decrescendo, afastando-se de y=1 (repulsão pela esquerda). Assim y=1 é semiestável: estável para perturbações positivas e instável para perturbações negativas.
Passo 5
No diagrama de fase colocamos o nó y=1 e setas apontando para a esquerda em todo o eixo y. Isso significa: se y(0)>1 a solução decresce monotonamente e tende a y=1 quando t→∞; se y(0)=1 permanece constante; se y(0)<1 a solução decresce sem parar e vai para −∞ em tempo finito. Esses perfis podem ser esboçados em um gráfico y×t para ilustrar o comportamento qualitativo.
Resposta
O único ponto de equilíbrio é y*=1, que é semiestável (atrator para y>1 e repulsor para y<1). Para y(0)>1, y(t) decresce monotonicamente e tende a 1 quando t→∞; para y(0)<1, y(t) decresce e diverge para −∞ em tempo finito; para y(0)=1, y(t)≡1.