Encontre os quatro primeiros elementos da sequência das somas parciais (Sn), e obtenha uma fórmula para Sn em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty 1(2 n-1)(2 n+1)

Passo 1

O exercício pede para encontrarmos os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
Sn=sumk=1^n1(2k-1)(2k+1), obter uma fórmula fechada para Sn em função de n e analisar se a série infinita convergir. Caso positivo, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é séries telescópicas e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Para decompor o termo geral, escrevemos
1(2k-1)(2k+1) = A2k-1 + B2k+1
Igualando numeradores encontra-se
1 = A(2k+1) + B(2k-1)
e, após comparar coeficientes, obtém-se
1(2k-1)(2k+1) = 12l(12k-1 - 12k+1r)

Passo 3

Somando de k=1 até k=n temos
sumk=1^n1(2k-1)(2k+1) = 12sumk=1^nl(12k-1 - 12k+1r)
Essa soma é telescópica: ao expandir, quase todos os termos se cancelam, restando
12l(1 - 12n+1r)
Logo,
Sn = 12l(1 - 12n+1r) = n2n+1

Passo 4

Para os quatro primeiros termos basta substituir n=1,2,3,4 na fórmula:
S1 = 13, S2 = 25, S3 = 37, S4 = 49

Passo 5

Para verificar a convergência, olhamos o limite
limntoinftySn = limntoinftyn2n+1 = 12
Como existe limite finito, a série converge e sua soma é tfrac12.

Resposta

S_1=1/3, S_2=2/5, S_3=3/7, S_4=4/9; S_n=\frac{n}{2n+1}; a série converge e sua soma é 1/2.

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