Encontre os quatro primeiros elementos da sequência das somas parciais
, e obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O exercício pede para encontrarmos os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
, obter uma fórmula fechada para
em função de
e analisar se a série infinita convergir. Caso positivo, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é séries telescópicas e decomposição em frações parciais.
Passo 2
Para decompor o termo geral, escrevemos
Igualando numeradores encontra-se
e, após comparar coeficientes, obtém-se
Passo 3
Somando de
até
temos
Essa soma é telescópica: ao expandir, quase todos os termos se cancelam, restando
Logo,
Passo 4
Para os quatro primeiros termos basta substituir
na fórmula:
Passo 5
Para verificar a convergência, olhamos o limite
Como existe limite finito, a série converge e sua soma é
.
Resposta
S_1=1/3, S_2=2/5, S_3=3/7, S_4=4/9; S_n=\frac{n}{2n+1}; a série converge e sua soma é 1/2.