Determine os valores de a e b de forma que a função h dada seja contínua no seu domínio
h(x)=rcx+2 a, & se x<-2, 3 a x+b, & se -2 <= x <= 1, 6 x+2 b, & se x>1,

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes
h(x)= x+2a,&x<-2,3ax+b,&-2<= x<=1,6x+2b,&x>1,
queremos que ela seja contínua em todo o domínio. Como cada parte é linear, basta garantir continuidade nos pontos de troca, x=-2 e x=1.

Passo 2

Em x=-2 precisamos que o limite pela esquerda iguale o valor da definição no ponto. Temos
limxto-2^-h(x)=(-2)+2a=-2+2a
e
h(-2)=3a(-2)+b=-6a+b
Igualando, obtemos
-2+2a=-6a+bimplies b=8a-2

Passo 3

Em x=1 fazemos o mesmo: o valor vindo da região central deve coincidir com o limite à direita. Calculamos
h(1)=3acdot1+b=3a+b
e
limxto1^+h(x)=6cdot1+2b=6+2b
Igualando, dá
3a+b=6+2bimplies3a-b=6

Passo 4

Agora resolvemos o sistema
b=8a-2,3a-b=6
Substituindo b na segunda equação:
3a-(8a-2)=6implies-5a+2=6implies a=-tfrac45
Em seguida,
b=8l(-tfrac45r)-2=-tfrac325-tfrac105=-tfrac425

Resposta

a = -\tfrac{4}{5}, ; b = -\tfrac{42}{5}

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