1. lim (x, y) (0,0) e^-1 /(x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o limite de $ e{-1/(x2 + y^2)} $ quando e^-1/(x^2 + y^2) se aproxima de (x, y). Esse problema está relacionado ao conteúdo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar limites envolvendo exponenciais e o comportamento da função quando (0,0) e x vão para zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o denominador dentro do expoente, que é x^2 + y^2. Quando (x, y) se aproxima de (0,0), tanto x^2 quanto y^2 vão para zero, então x^2 + y^2 também vai para zero.

Passo 3

Agora, observe que temos $ -1/(x^2 + y^2) $ no expoente. Como -1/(x^2 + y^2) está se aproximando de zero, x^2 + y^2 está crescendo sem limite, ou seja, tende ao infinito. Portanto, $ -1/(x^2 + y^2) $ tende a 1/(x^2 + y^2).

Passo 4

Sabemos que a função exponencial $ e^{z} $ tende a zero quando $ z $ tende a $-\infty $. Aplicando isso à nossa expressão, como o expoente $ -1/(x^2 + y^2) $ tende a $-\infty $, o valor de $ e{-1/(x2 + y^2)} $ tende a zero.

Resposta

Portanto, o limite de $ e{-1/(x2 + y^2)} $ quando e^-1/(x^2 + y^2) se aproxima de (x, y) é:
(0,0)

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