Determine os valores de a e b de modo que a função definida por f(x)=lla x+b, & se x<2 2 x^2-1, & se x >= 2 seja derivável em x=2

Passo 1

Temos a função
f(x)= a x + b, & x<2, 2x^2-1, & x>=2,
e queremos que ela seja derivável em x=2. Para isso precisamos de duas coisas em x=2:
  1. Continuidade (os limites à esquerda e à direita coincidem).
  2. Igualdade das derivadas laterais (a derivada à esquerda é igual à derivada à direita).

Passo 2

Condição de continuidade em x=2:
limxto2^-f(x)=limxto2^+f(x).
Da parte esquerda vem
limxto2^-f(x)=acdot2+b=2a+b,
e da parte direita
limxto2^+f(x)=2cdot2^2-1=8-1=7.
Logo obtemos a equação
2a + b = 7

Passo 3

Condição de derivabilidade em x=2:
as derivadas laterais devem ser iguais.
Na parte x<2, f'(x)=a.
Na parte x>=2, f'(x)=ddx(2x^2-1)=4x, e em x=2 4cdot2=8.
Logo
a = 8

Passo 4

Substituindo a=8 na equação de continuidade 2a+b=7, temos
2cdot8 + b = 7 Longrightarrow 16 + b = 7 Longrightarrow b = 7 - 16 = -9

Resposta

a = 8 e b = -9.

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