Determine os valores de e de modo que a função definida por seja derivável em x=2 。
Passo 1
Temos a função
f(x)= a x + b, & x<2, 2x^2-1, & x>=2,
e queremos que ela seja derivável em x=2. Para isso precisamos de duas coisas em x=2:
Continuidade (os limites à esquerda e à direita coincidem).
Igualdade das derivadas laterais (a derivada à esquerda é igual à derivada à direita).
Passo 2
Condição de continuidade em x=2: limxto2^-f(x)=limxto2^+f(x).
Da parte esquerda vem limxto2^-f(x)=acdot2+b=2a+b,
e da parte direita limxto2^+f(x)=2cdot2^2-1=8-1=7.
Logo obtemos a equação
2a + b = 7
Passo 3
Condição de derivabilidade em x=2:
as derivadas laterais devem ser iguais.
Na parte x<2, f'(x)=a.
Na parte x>=2, f'(x)=ddx(2x^2-1)=4x, e em x=2 dá 4cdot2=8.
Logo
a = 8
Passo 4
Substituindo a=8 na equação de continuidade 2a+b=7, temos
2cdot8 + b = 7 Longrightarrow 16 + b = 7 Longrightarrow b = 7 - 16 = -9