A equação de Laplace bidimensional é dada por partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0. Mostre que as funções a seguir satisfazem uma equação de Laplace:
f(x, y)=e^-2 y cos (2 x)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Laplace bidimensional
partial^2fpartial x^2 + partial^2fpartial y^2 = 0
e a função
f(x,y) = e^-2ycos(2x)
Vamos mostrar que, ao calcular as segundas derivadas parciais de f em x e em y e somá-las, o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, derivamos em x. Como e^-2y é constante em relação a x, temos
partial fpartial x = e^-2y,ddxl(cos(2x)r) = e^-2y,(-2sin(2x)) = -2e^-2ysin(2x)
Derivando de novo em x:
partial^2 fpartial x^2 = -2e^-2y,ddxl(sin(2x)r) = -2e^-2y,(2cos(2x)) = -4e^-2ycos(2x)

Passo 3

Agora, derivamos em y. Como cos(2x) é constante em relação a y,
partial fpartial y = cos(2x),ddyl(e^-2yr) = cos(2x),(-2e^-2y) = -2e^-2ycos(2x)
Derivando de novo em y:
partial^2 fpartial y^2 = -2cos(2x),ddyl(e^-2yr) = -2cos(2x),(-2e^-2y) = 4e^-2ycos(2x)

Passo 4

Somando as duas segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = l(-4e^-2ycos(2x)r) + l(4e^-2ycos(2x)r) = 0
Isso mostra exatamente que f satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

A função f(x,y)=e^-2ycos(2x) satisfaz
partial^2fpartial x^2 + partial^2fpartial y^2 = 0

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