A equação de Laplace bidimensional é dada por
. Mostre que as funções a seguir satisfazem uma equação de Laplace:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Laplace bidimensional
e a função
Vamos mostrar que, ao calcular as segundas derivadas parciais de
em
e em
e somá-las, o resultado é zero.
Passo 2
Primeiro, derivamos em
. Como
é constante em relação a
, temos
Derivando de novo em
:
Passo 3
Agora, derivamos em
. Como
é constante em relação a
,
Derivando de novo em
:
Passo 4
Somando as duas segundas derivadas:
Isso mostra exatamente que
satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
A função
satisfaz