Nos problemas a seguir determine o limite da sequencia, quando existir. A sequencia converge?
Questão não especificada
Questão não especificada
Passo 1
O enunciado pede o limite da sequência
Isso faz parte do conteúdo de limites de sequências e comparação de taxas de crescimento entre funções (logarítmica versus exponencial).
Passo 2
Reescrevemos a sequência numa forma que facilita a análise:
Assim fica claro que no numerador cresce lentamente (logaritmo) e no denominador cresce muito rápido (exponencial).
Passo 3
Pela intuição de comparação de crescimentos, sabemos que qualquer função exponencial
domina qualquer função logarítmica
. Logo, à medida que
, o quociente
tende a zero.
Passo 4
Para dar uma prova mais rigorosa, consideramos a função contínua
e avaliamos
Como tanto
quanto
tendem a infinito, aplicamos a regra de l’Hôpital:
Passo 5
Como o limite da função contínua é zero, a sequência discreta
também satisfaz
também satisfaz
Portanto, a sequência converge e seu limite é zero.
Resposta
A sequência converge e