Nos problemas a seguir determine o limite da sequencia, quando existir. A sequencia converge?
Questão não especificada
e^-n ln (n)n=1^infty

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
an = e^-n,ln(n), n=1,2,3,dots
Isso faz parte do conteúdo de limites de sequências e comparação de taxas de crescimento entre funções (logarítmica versus exponencial).

Passo 2

Reescrevemos a sequência numa forma que facilita a análise:
an = ln(n)e^n
Assim fica claro que no numerador cresce lentamente (logaritmo) e no denominador cresce muito rápido (exponencial).

Passo 3

Pela intuição de comparação de crescimentos, sabemos que qualquer função exponencial e^n domina qualquer função logarítmica ln(n). Logo, à medida que ntoinfty, o quociente
ln(n)e^n
tende a zero.

Passo 4

Para dar uma prova mais rigorosa, consideramos a função contínua
f(x)=ln(x)e^x, x>0,
e avaliamos
limxtoinftyf(x)
Como tanto ln(x) quanto e^x tendem a infinito, aplicamos a regra de l’Hôpital:
limxtoinftyln(x)e^x =limxtoinftyddxln(x)ddxe^x =limxtoinfty1/xe^x =limxtoinfty1x,e^x =0

Passo 5

Como o limite da função contínua é zero, a sequência discreta
an=ln(n)e^n
também satisfaz
limntoinftyan=0
Portanto, a sequência converge e seu limite é zero.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftye^-nln(n)=0

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