é classificado como SPD (sistema com solução única), SPI (sistema com infinitas soluções) ou SI (sistema incompatível, sem solução).
Informações dadas:
As incógnitas são x,\;y,\;w.
Os parâmetros são a e b.
O sistema é linear de 3 equações e 3 incógnitas.]
Passo 2
Primeiro preciso explicar como classificar rapidamente um sistema linear 3×3:
Definição prática: seja A a matriz de coeficientes e [A|\mathbf{b}] a matriz aumentada.
Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])=3 então o sistema é SPD (única solução).
Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])<3 então o sistema é SPI (infinitas soluções).
Se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}]) então o sistema é SI (incompatível).
Fórmula prática rápida: para uma matriz 3\times3 se \det(A)\neq0 então \operatorname{rank}(A)=3 e o sistema teria solução única (SPD). Se \det(A)=0 então \operatorname{rank}(A)<3 e precisamos comparar com a aumentada para decidir entre SPI e SI.
Vou aplicar isso ao nosso sistema. A matriz de coeficientes é
Portanto \det(A)=0 para todo a. Conclusão imediata: nunca há SPD; a matriz de coeficientes nunca tem posto 3.]
Passo 4
Como [\det(A)=0), o sistema pode ser SPI ou SI. Vou resolver as duas primeiras equações para ver que informações elas impõem (eliminação simples), e então ver como a terceira se encaixa.
Multiplico a primeira por 2\] e subtraio a segunda:
\[2(x+y+w)-(2x+y+2w)=4-5.\]
No lado esquerdo: \(2x+2y+2w-2x-y-2w=y. No direito: 4-5=-1. Logo
y=-1.]
Passo 5
Substituo y=-1 em \,x+y+w=2\: para obter relação entre x e w:
x+(-1)+w=2 \quad\Rightarrow\quad x+w=3.
Verifico rapidamente que a segunda equação dá a mesma relação: 2x+(-1)+2w=5\Rightarrow 2x+2w=6\Rightarrow x+w=3. Portanto as duas primeiras equações fixam y e deixam x e w relacionados por x+w=3 (um grau de liberdade). Assim, o sistema formado pelas duas primeiras equações tem infinitas soluções (um parâmetro).
Passo 6
Agora imponho a terceira equação para ver se ela é compatível com as duas primeiras. A terceira é
3x+a y+3w=b.
Substituo y=-1 e uso x+w=3. Note que 3x+3w=3(x+w)=3\cdot3=9. Então a terceira fica
9 + a(-1)=b \quad\Rightarrow\quad b=9-a.
Esse é o critério de consistência: a terceira equação só é consequência das duas primeiras (portanto não adiciona restrição nova) se e somente se b=9-a.
Passo 7
Interpretação final com base no passo anterior:
Se b=9-a então a terceira equação é dependente das duas primeiras e não adiciona restrição. Nesse caso \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])=2<3 e o sistema tem infinitas soluções (SPI). A solução geral pode ser dada usando um parâmetro: por exemplo tomando w=t (parâmetro real),y=-1,\qquad x=3-t,\qquad w=t,para qualquer t\in\mathbb{R}.
Se b\neq9-a então a terceira equação contradiz as duas primeiras (porque com y=-1 e x+w=3 a combinação produz 9-a do lado direito, não b). Logo \operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])=3 enquanto \operatorname{rank}(A)=2, e o sistema é incompatível (SI).
Como \det(A)=0 para todo a, nunca ocorre SPD (solução única) para nenhum par (a,b).
Passo 8
Resumo didático rápido para decorar: as duas primeiras equações já dão y=-1 e x+w=3. A terceira impõe b=9-a para ser compatível. Se essa igualdade vale, sobra um grau de liberdade (infinitas soluções); se não vale, há contradição (sem solução).