Teorema 8. O pé da altura sobre a hipotenusa e os pontos médios dos lados de um triângulo retângulo pertencem a uma mesma circunferência.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
Dado: um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C.
Definições que aparecem no enunciado e que vamos usar sem assumir que já saibas:
“Pé da altura sobre a hipotenusa” significa o ponto D que é a projeção ortogonal de C sobre a hipotenusa AB; ou seja, D está em AB e CD\perp AB.
“Pontos médios dos lados” refere-se aos pontos médios dos catetos AC e BC; vamos chamar M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BC.
Pergunta: provar que os pontos M, N e D (e também C, como ficará claro na prova) pertencem a uma mesma circunferência — isto é, que há uma circunferência que passa por esses pontos.
Vou agora provar isso passo a passo, com explicações bem didáticas e sem pular etapas.
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas simples (método elementar e efetivo).
Para tornar as contas claras, posicionamos o triângulo de forma conveniente num sistema de coordenadas cartesianas:
Tomemos C=(0,0).
Colocamos A=(a,0) sobre o eixo x, com a>0. Assim AC tem comprimento a.
Colocamos B=(0,b) sobre o eixo y, com b>0. Assim BC tem comprimento b.
Nesta escolha, AC é paralelo ao eixo x, BC é paralelo ao eixo y, e de facto AC\perp BC, como esperado para o vértice reto C.
Comentário didático: escolher coordenadas assim é clássico porque simplifica muito as expressões dos pontos médios e facilita encontrar o pé da perpendicular D por interseção de retas.
Passo 3
Calcular as coordenadas dos pontos médios M e N.
Por definição de ponto médio:
O ponto médio M de AC tem coordenadasM=\left(\frac{a}{2},0\right).Aqui foi usado que A=(a,0) e C=(0,0), então a média das coordenadas é \big(\tfrac{a+0}{2},\tfrac{0+0}{2}\big).
O ponto médio N de BC tem coordenadasN=\left(0,\frac{b}{2}\right).Pois B=(0,b) e C=(0,0).
Explicação rápida: o ponto médio entre (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é \big(\tfrac{x_1+x_2}{2},\tfrac{y_1+y_2}{2}\big). Use isto sempre que precisares de um ponto médio.
Passo 4
Encontrar as coordenadas do pé da altura [D) de C sobre a hipotenusa AB.
A reta AB passa por A=(a,0) e B=(0,b). A sua equação pode ser escrita na forma\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.(Isto vem de interpolar linearmente entre os pontos; outra forma é a equação bx+ay-ab=0, equivalentes.)
A reta que contém a altura CD passa por C=(0,0) e é perpendicular a AB. A inclinação (coeficiente angular) de AB é -\tfrac{b}{a}, logo a da perpendicular CD é \tfrac{a}{b}. Assim a equação de CD éy=\frac{a}{b}\,x.
O ponto D é a interseção dessas duas retas; resolvendo o sistema\begin{cases} \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1,\\[6pt] y=\dfrac{a}{b}\,x, \end{cases}substituímos a segunda na primeira:\frac{x}{a}+\frac{1}{b}\cdot\frac{a}{b}x=1 \qquad\Rightarrow\qquad \frac{x}{a}+\frac{a}{b^{2}}x=1.Multiplicando por a b^{2}\]:
\[b^{2}x + a^{2}x = a b^{2}.\]
Logo
\[x_D=\frac{a b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.\]
E usando \(y_D=\dfrac{a}{b}x_D obtemosy_D=\frac{a^{2} b}{a^{2}+b^{2}}.PortantoD=\left(\frac{a b^{2}}{a^{2}+b^{2}},\;\frac{a^{2} b}{a^{2}+b^{2}}\right).
Comentário didático: é rotina resolver interseção de retas; toma calma ao substituir e ao multiplicar para eliminar denominadores — é passo a passo que aparece na prova.]
Passo 5
Mostrar que os segmentos DM e DN são perpendiculares (ou seja, \angle MDN=90^\circ).
Vamos trabalhar com vetores: \overrightarrow{DM}=M-D e \overrightarrow{DN}=N-D.
O produto escalar dos dois vetores é\overrightarrow{DM}\cdot\overrightarrow{DN} =\left(\frac{a}{2}-\frac{a b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-\frac{a b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\right) +\left(-\frac{a^{2} b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(\frac{b}{2}-\frac{a^{2} b}{a^{2}+b^{2}}\right).
Para ver que isto é zero, multiplica-se por (a^{2}+b^{2})^{2} (que é positivo, logo não altera o sinal nem a nulidade) e desenvolve-se cuidadosamente. Após desenvolver os produtos e agrupar termos obtém-se(a^{2}+b^{2})^{2}\big(\overrightarrow{DM}\cdot\overrightarrow{DN}\big) =-a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2}) + a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2}) = 0.Assim\overrightarrow{DM}\cdot\overrightarrow{DN}=0.
Produto escalar nulo significa que \overrightarrow{DM} é perpendicular a \overrightarrow{DN}, logo\angle MDN=90^\circ.
Didática: se isto parecer muita conta, lembra que a estratégia é provar perpendicularidade calculando produto escalar; se fizeres as somas e produtos com cuidado as parcelas vão se cancelar (como aconteceu).
Passo 6
Observar que \angle MCN=90^\circ e concluir conciclicidade.
Note que M está sobre AC e N sobre BC, e AC\perp BC (ângulo reto em C). Logo os vetores \overrightarrow{CM} e \overrightarrow{CN} são perpendiculares e\angle MCN=90^\circ.
Temos então duas razões importantes:
\angle MCN=90^\circ;
\angle MDN=90^\circ (mostrado no passo anterior).
Em geometria de circunferências, se dois ângulos inscritos subtendem o mesmo arco (aqui o arco \overset{\frown}{MN}) e são iguais, então os quatro pontos envolvidos são concíclicos. Uma forma prática de usar isso: como os ângulos subtendidos pelo segmento MN em C e em D são ambos retos, ambos subtendem o mesmo arco MN; logo M,N,C,D pertencem a uma mesma circunferência.
Outra formulação equivalente e frequentemente usada como critério: se num quadrilátero a soma de dois ângulos opostos é 180^\circ, então o quadrilátero é cíclico. Aqui \angle MCN + \angle MDN = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ, por isso o quadrilátero M C N D é cíclico.
Conclusão lógica: os pontos M, N, D e C pertencem à mesma circunferência. Em particular, o pé da altura D sobre a hipotenusa e os pontos médios M,N dos catetos pertencem a uma mesma circunferência (que é um caso particular do círculo dos nove pontos, em teoria mais avançada).
Passo 7
Resumo e observação prática para a prova.
Estratégia curta que deves guardar para a prova: numa situação com triângulo retângulo, transformá-lo em coordenadas (vértice do ângulo reto na origem, catetos nos eixos) costuma simplificar muito. Depois:
Mostrar que o ângulo no vértice reto é 90^\circ (óbvio);
Calcular o pé da perpendicular e mostrar que o ângulo no pé também é 90^\circ;
Concluir que os quatro pontos são concíclicos porque têm ângulos opostos somando 180^\circ (ou porque ambos subtendem o mesmo arco).
Se quiseres uma prova puramente euclidiana (sem coordenadas), há também uma prova por semelhança de triângulos que leva às mesmas conclusões, e existe ainda a interpretação pela “circunferência dos nove pontos” (mais avançada). Mas a prova coordenada que demos é segura, direta e fácil de reproduzir sob pressão.
Resposta
Os pontos médios dos catetos M e N e o pé da altura sobre a hipotenusa D pertencem à mesma circunferência (de fato M,N,C,D são concíclicos).