O que se pede: discutir o sistema em função de m usando o Teorema de Rouché‑Frobenius — isto é, determinar para que valores de m o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, e fornecer as soluções quando elas existem.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
As equações do sistema (as três linhas acima).
O parâmetro é m (um número real qualquer).
O vetor dos termos independentes é (4,8,24)^{T}.]
Passo 2
Rápida explicação do Teorema de Rouché‑Frobenius (a ferramenta que vamos usar), em linguagem simples:
Dados a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada [A|b], o sistema é compatível (tem pelo menos uma solução) se, e somente se, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b]).
Se essa igualdade de postos vale e o posto é igual ao número de incógnitas (aqui 3), então a solução é única.
Se a igualdade vale e o posto é menor que o número de incógnitas, então há infinitas soluções (grau de liberdade igual a 3-\operatorname{rank}).
Se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A|b]), o sistema é incompatível (sem solução).
Vou aplicar esse teorema calculando postos por eliminação e, quando conveniente, pelo determinante (pois para matrizes 3\times3 determinante não nulo implica posto 3).
Passo 3
Escrevendo a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada [A|b] extraídas diretamente das equações:
Se m\neq 1 e m\neq 3 então \det(A)\neq 0, logo \operatorname{rank}(A)=3 e o sistema tem solução única.
Para m=1 ou m=3 temos \det(A)=0, então \operatorname{rank}(A)\le 2 e é preciso analisar a compatibilidade com [A|b].]
Passo 5
Encontrando explicitamente a solução no caso m\neq 1,3 (posto 3, solução única). Em vez de usar Cramer, faço eliminação simples usando as três equações originais. Reescrevo-as:
\begin{array}{rcl} (1)&:& m x + y - z = 4,\\[4pt] (2)&:& x + y + z = 8,\\[4pt] (3)&:& 3x + 3y + m z = 24. \end{array}
Soma de (1) com (2) elimina z:
(1)+(2):\qquad (m+1)x + 2y = 12. \tag{4}
Agora combine (3) com (2) para eliminar x e y: faça (3) - 3\cdot(2):
(3)-3\cdot(2):\qquad (3x-3x)+(3y-3y)+(m z - 3 z)=24-24,
ou seja
(m-3)z = 0. \tag{5}
Como estamos no caso m\neq 3, da equação (5) vem
z = 0.
Com z=0, a equação (2) dá
x + y = 8 \quad\Rightarrow\quad y = 8 - x. \tag{6}
Note que a terceira equação é 3 vezes a segunda, pois 3(x+y+z)=3\cdot 8=24. Logo a terceira equação não traz nova informação — o posto da matriz de coeficientes é 2 (duas equações independentes) e a matriz aumentada tem o mesmo posto 2 (as equações são compatíveis). Pelo Teorema de Rouché‑Frobenius o sistema tem infinitas soluções com um grau de liberdade =3-2=1.
Para parametrizar as soluções: use as duas equações independentes (por exemplo a (2) e a combinação entre (1) e (2)). Da (2):
x+y+z=8. \tag{2'}
Combino (1) e (2) como em passo anterior para eliminar z: (1)+(2) com m=3 dá
Portanto a terceira equação contradiz as duas primeiras: o sistema é incompatível. Podemos ver isso também linearmente: as linhas 1 e 2 combinadas como 1\cdot\text{(linha1)}+2\cdot\text{(linha2)} produzem a linha dos coeficientes da terceira equação quando m=1, porém a combinação dos termos independentes dá 1\cdot 4 + 2\cdot 8 = 20\neq 24, o que mostra \operatorname{rank}(A)=2 e \operatorname{rank}([A|b])=3 — incompatibilidade.]
Passo 8
Conclusão final (classificação por valores de m):
Para m\neq 1 e m\neq 3: \operatorname{rank}(A)=3 e existe solução única, dada por
x = -\dfrac{4}{m-1},\qquad y = \dfrac{4(2m-1)}{m-1},\qquad z=0.
Para m=3: \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=2 e o sistema tem infinitas soluções parametrizadas por