Determine os valores de
tais que
seja solução da equação diferencial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de $ b $ para que a função $ y(x) = \sin(bx) $ seja solução da equação diferencial $ y + 6y’’ = 0 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de derivadas e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que $ y(x) = \sin(bx) $ é uma solução da equação diferencial $ y + 6y’’ = 0 $. Isso quer dizer que, ao substituir $ y $ e suas derivadas na equação, a igualdade deve ser satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ y(x) = \sin(bx) $. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Com as derivadas calculadas, vamos substituir $ y $ e $ y’’ $ na equação diferencial:
Podemos fatorar $ \sin(bx) $:
Passo 5
Para que a equação seja válida para todo $ x $, o coeficiente de $ \sin(bx) $ precisa ser zero:
Resolvendo essa equação para $ b $:
Resposta
Os valores de $ b $ que satisfazem a equação diferencial são $ b = \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}} $.