Classificar cada uma das seguintes equações diferenciais quanto ao tipo (ordinária ou parcial) e ordem, e no caso, em que se tratar de uma EDO, verificar se a mesma é linear.
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial da forma:
A pergunta quer que a gente classifique essa equação quanto ao tipo (se é ordinária ou parcial) e a ordem dela. Além disso, se for uma Equação Diferencial Ordinária (EDO), a gente precisa verificar se ela é linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são equações diferenciais ordinárias e parciais, além de saber definir a ordem e a linearidade de uma equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é ordinária ou parcial. As Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) envolvem funções de uma única variável independente e suas derivadas. Já as Equações Diferenciais Parciais (EDP) envolvem funções de múltiplas variáveis independentes e suas derivadas parciais.
Nesse caso, vemos as derivadas parciais em relação a
e
, então estamos lidando com mais de uma variável independente. Isso já nos indica que a equação é uma Equação Diferencial Parcial (EDP).
Passo 3
Agora, vamos determinar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior ordem de derivada presente na equação.
Aqui, temos derivadas de quarta ordem:
,
e
. Então, a ordem da nossa equação é 4.
Passo 4
Como identificamos que se trata de uma EDP, a parte sobre verificar se é linear ou não não se aplica diretamente, já que a linearidade é mais comumente discutida no contexto das EDOs. Mas, para completar o entendimento, uma EDP é dita linear se a equação pode ser expressa como uma combinação linear das derivadas da função desconhecida, sem multiplicação entre essas derivadas ou da própria função.
Nossa equação pode ser escrita exatamente como uma soma linear de derivadas de quarta ordem iguais a zero, sem nenhum termo que multiplica as derivadas entre si ou a função “
”. Portanto, essa EDP também é linear.
Resposta
A equação diferencial dada é uma Equação Diferencial Parcial (EDP) de quarta ordem e linear.