Classificar cada uma das seguintes equações diferenciais quanto ao tipo (ordinária ou parcial) e ordem, e no caso, em que se tratar de uma EDO, verificar se a mesma é linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar a seguinte equação diferencial:
Vamos precisar entender dois conceitos principais aqui: tipo (se é uma Equação Diferencial Ordinária ou Parcial) e ordem da equação. Além disso, se for uma Equação Diferencial Ordinária (EDO), vamos verificar se ela é linear. Para isso, vamos dar uma olhada rápida no que cada um desses termos significa.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o tipo da equação diferencial. As equações diferenciais podem ser de dois tipos principais:
- Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs): Envolvem funções de uma única variável independente e suas derivadas.
- Equações Diferenciais Parciais (EDPs): Envolvem funções de múltiplas variáveis independentes e suas derivadas parciais.
Então, para identificar o tipo, precisamos ver quantas variáveis independentes a equação envolve.
Passo 3
Analisando a equação:
Aqui, temos apenas uma função $ y $ que depende de uma única variável (que normalmente é o tempo $ t $ ou a posição $ x $, mas não está especificado). As derivadas são todas em relação a essa única variável.
Portanto, esta é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO).
Passo 4
Agora, vamos determinar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é definida pela maior derivada presente na equação.
Na nossa equação:
As derivadas são de ordem 3 ($ y^{(3)}
y’’
y $). A maior delas é a terceira ordem.
Então, a ordem da equação é 3.
Passo 5
Como já identificamos que é uma Equação Diferencial Ordinária, vamos verificar se ela é linear.
Uma Equação Diferencial Ordinária é linear se ela puder ser escrita na forma:
onde $ a_n(x), a_{n-1}(x), \dots, a_0(x) $ são funções das variáveis independentes (neste caso, apenas uma variável) ou constantes, e $ g(x) $ é uma função conhecida.
Nossa equação:
Pode ser reescrita como:
Aqui, todos os coeficientes são constantes e não multiplicam nenhuma função de $ y $ além das derivadas lineares.
Portanto, a equação é linear.
Resposta
A equação diferencial $ y^{(3)} + 2 y’’ - y = 5 $ é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem e linear.