Determine os valores de x para os quais cada uma das expressões seguintes são números reais:
(d) 1raizx^2-x-12 x in R / x<-3 ou x>4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de x em R que tornam a expressão 1raizx^2 - x - 12 um número real. O conteúdo principal é domínio de funções com radical no denominador, e vamos precisar exigir que o radicando seja estritamente positivo.

Passo 2

Para que 1raizx^2 - x - 12 seja real e bem definida, precisamos que o que está dentro da raiz seja maior que zero (não podemos ter raiz de número negativo nem divisão por zero). Assim, precisamos resolver a inequação:
x^2 - x - 12 > 0

Passo 3

Fatorando o polinômio, obtemos
$$x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3).
$$
Para que o produto de dois fatores seja positivo, ou ambos são positivos ou ambos são negativos.

Passo 4

Analisando os fatores em conjunto:
  • Se x - 4 > 0 e x + 3 > 0, então x > 4.
  • Se x - 4 < 0 e x + 3 < 0, então x < -3.
    Não há outras situações. Portanto, a solução da inequação é x < -3 ou x > 4.

Resposta

x < -3 ou x > 4

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