Resolva log 10 x+2 cdot log x 10=3

Passo 1

A equação que precisamos resolver é log10 x + 2,logx 10 = 3. O conteúdo principal envolve propriedades de logaritmos e a mudança de base.

Passo 2

Antes de mais nada, definimos o domínio: como log10 x e logx 10 só existem para x>0 e x neq 1, temos que buscar soluções positivas diferentes de 1.

Passo 3

Usamos a fórmula de mudança de base: logx10 = 1log10x. Assim a equação fica em função de log10x.

Passo 4

Para simplificar, definimos t = log10x. Aí logx10 = 1/t, e a equação passa a ser:
t + 2cdot1t = 3

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por t (lembrando que tneq0 porque xneq1) e obtemos:
t^2 -3t +2 =0

Passo 6

Resolvendo essa quadrática pelos produtos que dão 2 e somam 3, chegamos a t=1 ou t=2.

Passo 7

Como t=log10x, voltamos ao x via x=10^t, obtendo x=10^1=10 ou x=10^2=100. Ambos estão no domínio.

Passo 8

Checamos rapidamente que nem 10 nem 100 são iguais a 1 e são positivos, logo são soluções válidas.

Resposta

x = 10 ou x = 100

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