Determine os valores de c para os quais cada sistema é inconsistente, consistente determinado ou consistente indeterminado.
(a) \left\{\begin{aligned} x+2 y & =1 \\\\ 2 x+\left(a^{2}-5\right) y & =a-1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em x,y\) com parâmetro \(a\): \[\begin{cases} x+2y=1,\\\\ 2x+(a^2-5)y=a-1. \end{cases}
O conteúdo é classificação de sistemas lineares (2\times 2]. Vamos usar o determinante da matriz de coeficientes e, nos casos em que ele zera, verificar consistência por comparação das equações.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 2 & a^2-5 \end{pmatrix},
cujo determinante é
\Delta=\det(A)=1\cdot(a^2-5)-2\cdot2=a^2-9=(a-3)(a+3).
Se \Delta\neq0, isto é, a\neq\pm3, o sistema é consistente determinado (solução única) por Cramer.

Passo 3

No caso \displaystyle a=3 temos \Delta=0. As equações tornam-se
x+2y=1, \quad 2x+4y=2,
e a segunda é exatamente o dobro da primeira, sem contradição. Logo há infinitas soluções: sistema consistente indeterminado.

Passo 4

No caso \displaystyle a=-3 também \Delta=0. As equações passam a ser
x+2y=1, \quad 2x+4y=-4.
A segunda não é múltiplo coerente da primeira, pois 2(x+2y)=2\neq-4. Há contradição, então o sistema é inconsistente.

Resposta

Para a\neq\pm3: consistente determinado.
Para a=3: consistente indeterminado.
Para a=-3: inconsistente.

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