Utilize a eliminação de Gauss-Jordan para resolver o sistema
\left\{\begin{aligned} -2 u+3 v & =1 \\ 3 t+6 u-3 v & =-2 \\ 6 t+6 u+3 v & =5 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} -2\,u + 3\,v = 1,\\\\ 3\,t + 6\,u - 3\,v = -2,\\\\ 6\,t + 6\,u + 3\,v = 5 \end{cases}
usando eliminação de Gauss–Jordan. O que vamos precisar é montar a matriz aumentada das incógnitas na ordem (t,u,v) e aplicar operações elementares para chegar à forma reduzida por linhas (RREF).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada correspondente às equações na ordem (t,u,v):
\left[\begin{array}{ccc|c} 0 & -2 & 3 & 1\\\\ 3 & 6 & -3 & -2\\\\ 6 & 6 & 3 & 5 \end{array}\right].

Passo 3

Para ter um pivô não nulo na posição (1,1), trocamos a linha 1 com a linha 2:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 6 & -3 & -2\\\\ 0 & -2 & 3 & 1\\\\ 6 & 6 & 3 & 5 \end{array}\right].

Passo 4

Normalizamos a linha 1 dividindo por 3, obtendo pivô 1 em (1,1):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -\tfrac{2}{3}\\\\ 0 & -2 & 3 & 1\\\\ 6 & 6 & 3 & 5 \end{array}\right].

Passo 5

Zeramos a coluna 1 na linha 3 subtraindo 6 vezes a linha 1 de R_3:
R_3 \leftarrow R_3 - 6\,R_1 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -\tfrac{2}{3}\\\\ 0 & -2 & 3 & 1\\\\ 0 & -6 & 9 & 9 - 6\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -\tfrac{2}{3}\\\\ 0 & -2 & 3 & 1\\\\ 0 & -6 & 9 & 9 +4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -\tfrac{2}{3}\\\\ 0 & -2 & 3 & 1\\\\ 0 & -6 & 9 & 13 \end{array}\right].

Passo 6

Normalizamos a linha 2 dividindo por -2 para obter pivô 1 em (2,2):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -\tfrac{2}{3}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\\\\ 0 & -6 & 9 & 13 \end{array}\right].

Passo 7

Zeramos a coluna 2 nas linhas 1 e 3.
Para R_1\): \(R_1 \leftarrow R_1 - 2\,R_2\) \[R_1: \begin{cases} 1 - 2\cdot0 = 1,\\\\ 2 - 2\cdot1 = 0,\\\\ -1 - 2\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) = -1 +3 = 2,\\\\ -\tfrac{2}{3} - 2\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = -\tfrac{2}{3} +1 = \tfrac{1}{3}, \end{cases}
para R_3\]: \(R_3 \leftarrow R_3 + 6\,R_2
R_3: \begin{cases} 0 + 6\cdot0 = 0,\\\\ -6 + 6\cdot1 = 0,\\\\ 9 + 6\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) = 9 -9 = 0,\\\\ 13 + 6\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 13 -3 = 10. \end{cases}
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & \tfrac{1}{3}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\\\\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}\right].

Passo 8

A linha 3 indica 0\,t + 0\,u + 0\,v = 10, o que é impossível. Portanto o sistema é inconsistente.

Resposta

O sistema é incompatível, logo não possui solução.

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