Determine os valores de c para os quais cada sistema é inconsistente, consistente determinado ou consistente indeterminado.
(b) \left\{\begin{aligned} x+2 y+z & =2 \\\\ 2 x-2 y+3 z & =1 \\\ x+2 y-\left(a^{2}-3\right) z & =a\end{aligned}\right.

Passo 1

O sistema depende do parâmetro \,a\) e é \[\begin{cases} x + 2y + z = 2,\\\\ 2x - 2y + 3z = 1,\\\ x + 2y - \bigl(a^{2}-3\bigr)z = a. \end{cases}
O objetivo é classificar o sistema em função de (a] usando o fato de que, se o determinante da matriz dos coeficientes for não nulo, há solução única; se for zero, aplicamos o Teorema de Rouché–Capelli para ver se é impossível ou indeterminado.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 2 & -2 & 3\\\\ 1 & 2 & -\,(a^{2}-3) \end{pmatrix}
e calculamos
\det(A) = 1\cdot \det\!\begin{pmatrix}-2 & 3\\\ 2 & -(a^{2}-3)\end{pmatrix} -2\cdot \det\!\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 1 & -(a^{2}-3)\end{pmatrix} +1\cdot \det\!\begin{pmatrix}2 & -2\\\ 1 & 2\end{pmatrix}.
Fazendo as contas de cada menor, chega-se a
\det(A) \;=\;6\,(a^{2}-2).

Passo 3

Como \det(A)=6\,(a^{2}-2), temos
\det(A)\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad a^{2}\neq2 \quad\Longleftrightarrow\quad a\neq\pm\sqrt{2}.
Pela teoria de sistemas lineares, quando \det(A)\neq0 o sistema tem solução única. Logo, para
a\neq\pm\sqrt{2},
o sistema é consistente determinado (uma única solução).

Passo 4

Fica agora analisar os casos a=\pm\sqrt{2}. Então a^{2}=2 e a terceira equação fica
x + 2y -\bigl(2-3\bigr)z = a \quad\Longrightarrow\quad x + 2y + z = a.
Compare com a primeira equação x+2y+z=2: as duas têm o mesmo lado esquerdo, mas no lado direito uma vale 2 e a outra vale a. Se a\neq2 isso gera contradição. Como aqui a=\pm\sqrt{2}\neq2, o sistema não admite solução.
Nesse caso a matriz de coeficientes tem posto 2 (duas linhas iguais), mas a matriz ampliada teria posto 3 (incompatível), indicando inconsistência.

Resposta

Para a\neq\pm\sqrt{2}: sistema consistente determinado (solução única).
Para a=\pm\sqrt{2}: sistema inconsistente (sem solução).

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