Nos problemas 1 a 4, considerando os vetores v_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right) e v_{2}=\left(x_{2}, y_{2}\right) do espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2}, verificar quais das funções f: V \times V \rightarrow \mathbb{R}, definidas em cada um deles, são produtos internos em V .
    1. f\left(v_{1}, v_{2}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}+2 y_{1} y_{2}

Passo 1

O enunciado define vetores \,v_{1}=(x_{1},y_{1}) e \,v_{2}=(x_{2},y_{2}) em V=\mathbb{R}^{2} e a função \,f:V\times V\to\mathbb{R} dada por:
f(v_{1},v_{2})=x_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+2y_{1}y_{2}
O objetivo é verificar se f é produto interno em V, ou seja, se é bilinear, simétrica e definida positiva.

Passo 2

Podemos escrever
f(v_{1},v_{2})=\begin{pmatrix}x_{1}&y_{1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{2}\\[2pt]y_{2}\end{pmatrix}.
Como a matriz
\displaystyle M=\begin{pmatrix}1&1\\[3pt]1&2\end{pmatrix}
é simétrica, segue que f é uma forma bilinear simétrica.]

Passo 3

Para verificar a positividade, calculemos
f\bigl((x,y),(x,y)\bigr)=x^{2}+2xy+2y^{2}.
Essa forma quadrática corresponde à matriz M acima. Seus menores principais são
\,m_{1}=1>0
e
\det M=1\cdot2-1\cdot1=1>0.
Como todos os menores principais são positivos, M é definida positiva e, portanto, f(v,v)>0 para todo v\neq0.

Passo 4

Concluímos que f satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida, logo é produto interno em V.

Resposta

A função f é um produto interno em V.

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