Nos problemas 1 a 4, considerando os vetores
e
do espaço vetorial
, verificar quais das funções
, definidas em cada um deles, são produtos internos em V .
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Passo 1
O enunciado define vetores
e
em
e a função
dada por:
O objetivo é verificar se
é produto interno em
, ou seja, se é bilinear, simétrica e definida positiva.
Passo 2
Podemos escrever
Como a matriz
é simétrica, segue que
Passo 3
Para verificar a positividade, calculemos
Essa forma quadrática corresponde à matriz
acima. Seus menores principais são
e
.
Como todos os menores principais são positivos, é definida positiva e, portanto,
para todo
.
e
Como todos os menores principais são positivos,
Passo 4
Concluímos que
satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida, logo é produto interno em
.
Resposta
A função
é um produto interno em
.