Determine os valores da constante
para que o problema de fronteira possua soluções não triviais para um
:
Passo 1
O enunciado pede os valores de
para os quais a equação
com as condições de contorno de Neumann
admita soluções não triviais. Isso é um problema de valores próprios (Sturm–Liouville) no intervalo
.
Passo 2
Analisamos primeiro o caso
. Escrevemos
com
. A solução geral de
é
Temos então
A condição
implica
Logo
Para
viria
mas
se
, então só há solução
, i.e.\ a trivial. Concluímos que não há autovalores negativos.
Passo 3
Vemos agora o caso
. A equação fica
cuja solução geral é
A condição
dá
, e então
. Como
está satisfeito, sobra
livre. Para
temos solução não trivial. Assim
é um autovalor, com autossolução constante.
Passo 4
Finalmente, consideramos
. Escrevemos
com
. A equação
tem solução geral
e
A condição
dá
logo
Para
precisamos
Queremos
para ter solução não trivial, então
Como
, tomamos
. Isso gera
e
Resposta
Os valores de
que admitem soluções não triviais são
onde
corresponde à solução constante e
às soluções
.