Determine os valores da constante lambda para que o problema de fronteira possua soluções não triviais para um L>0 :
ly^prime prime+lambda y=0 y^prime(0)=0, y^prime(L)=0

Passo 1

O enunciado pede os valores de lambda para os quais a equação
y'' + lambda y = 0
com as condições de contorno de Neumann
y'(0)=0, y'(L)=0
admita soluções não triviais. Isso é um problema de valores próprios (Sturm–Liouville) no intervalo [0,L].

Passo 2

Analisamos primeiro o caso lambda<0. Escrevemos lambda=-alpha^2 com alpha>0. A solução geral de
y'' - alpha^2 y = 0
é
y(x)=A e^alpha x+B e^-alpha x
Temos então
y'(x)=Aalpha e^alpha x-Balpha e^-alpha x
A condição y'(0)=0 implica
Aalpha - Balpha = 0Longrightarrow A = B
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y(x)=Al(e^alpha x+e^-alpha xr)=2Acosh(alpha x)
Para y'(L)=0 viria
y'(L)=2Aalphasinh(alpha L)=0,
mas sinh(alpha L)neq0 se alpha>0, então só há solução A=0, i.e.\ a trivial. Concluímos que não há autovalores negativos.

Passo 3

Vemos agora o caso lambda=0. A equação fica
y''=0,
cuja solução geral é
y(x)=ax+b
A condição y'(x)=a y'(0)=a=0, e então y(x)=b. Como y'(L)=a=0 está satisfeito, sobra b livre. Para bneq0 temos solução não trivial. Assim
lambda=0
é um autovalor, com autossolução constante.

Passo 4

Finalmente, consideramos lambda>0. Escrevemos lambda=mu^2 com mu>0. A equação
y''+mu^2 y=0
tem solução geral
y(x)=Acos(mu x)+Bsin(mu x),
e
y'(x)=-Amusin(mu x)+Bmucos(mu x)
A condição y'(0)=0
Bmu=0Longrightarrow B=0,
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y(x)=Acos(mu x)
Para y'(L)=0 precisamos
y'(L)=-Amusin(mu L)=0
Queremos Aneq0 para ter solução não trivial, então
sin(mu L)=0 Longrightarrow mu L = npi, ninZ
Como mu>0, tomamos n=1,2,3,dots. Isso gera
mun = npiL,
e
lambdan = mun^2 = l(npiLr)^2

Resposta

Os valores de lambda que admitem soluções não triviais são
lambdan = l(npiLr)^2, n=0,1,2,dots
onde n=0 corresponde à solução constante e n>=1 às soluções cosl(tfracnpiLxr).

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