Nos exercícios 31a) → 31f), encontre d yd x em cada uma das equações que, implicitamente, definem y como função de x.
raizx+y=raizy+1

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita entre x e y
raizx+y=raizy+1
e pede dydx. Vamos usar diferenciação implícita e a regra da cadeia para derivar raízes.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. À esquerda,
ddxraizx+y =ddx(x+y)^tfrac12 =12raizx+ycdotddx(x+y) =1+y'2raizx+y
À direita,
ddx(raizy+1) =ddx(y^tfrac12)+0 =12raizy;y' =y'2raizy

Passo 3

Igualando as derivadas:
1+y'2raizx+y=y'2raizy
Multiplicamos ambos os lados por 2raizx+y,raizy:
(1+y')raizy=y',raizx+y
Fazendo o distributivo e agrupando y':
raizy+y'raizy=y'raizx+y Longrightarrow raizy=y'l(raizx+y-raizyr)

Passo 4

Isolamos y':
y'=raizyraizx+y-raizy
Racionalizando o denominador (multiplicando numerador e denominador por raizx+y+raizy):
y' =raizy(raizx+y+raizy) (raizx+y-raizy)(raizx+y+raizy) =raizy(raizx+y+raizy)x+y-y =raizy(raizx+y+raizy)x

Resposta

dydx =raizyraizx+y-raizy =raizy,l(raizx+y+raizyr)x

Exercícios relacionados