3) Responder a cada item, justificando sua resposta:
- A equação
, possui alguma raiz no intervalo
?
- Em quais pontos a função
dada por
corta o eixo
?
- Determinar os pontos do gráfico de
, dada por
, em que a sua ordenada é zero.
- A equação
possi alguma raiz real? Em qual intervalo?
- Mostrar que a equação
tem raiz.
- Mostrar que a equação
tem raiz.
Passo 1
Vou listar claramente o que cada item pede e quais funções/ecuações foram dadas (sem resolver nada ainda).
-
Pergunta: A equação
possui alguma raiz no intervalo ?
Dado: a equação. -
Pergunta: Em quais pontos a função
dada por corta o eixo ?
Dado: a função. -
Pergunta: Determinar os pontos do gráfico de
, dada por , em que a sua ordenada é zero.
Dado: a função. -
Pergunta: A equação
possui alguma raiz real? Em qual intervalo?
Dado: a equação. -
Pergunta: Mostrar que a equação
tem raiz.
Dado: a equação. -
Pergunta: Mostrar que a equação
tem raiz.
Dado: a equação.
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar (mini-aula): Teorema do Valor Intermediário / Bolzano e continuidade de polinômios.
- Fato importante: todo polinômio é uma função continua em
. Isso significa que, se é polinômio e e têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), então existe pelo menos um tal que . Essa é a ideia do Teorema do Valor Intermediário (TVI). - Em linguagem simples: se a curva vai de um lado do eixo
para o outro sem “pular”, ela precisa cruzar o eixo .
Vou usar isso várias vezes: avaliar o polinômio em dois pontos e checar sinal oposto implica existência de raiz num intervalo entre esses pontos.
Passo 3
Item 01 — analisar
no intervalo
.
- Defino
. Como é polinômio, é continua. - Calculo
e :
-
Como
e , houve troca de sinal entre e . Pelo TVI existe pelo menos um tal que . Logo há uma raiz dentro do intervalo pedido. -
(Bônus didático: resolver a equação explicitamente) Resolvendo
obtemos
Assim a raiz negativa é
, que pertence ao intervalo
. Isso confirma e dá a raiz exata.
Passo 4
Item 02 — pontos onde
corta o eixo
.
- Corta o eixo
quando , isto é, . - Factorizo ou uso raiz quadrada:
Logo as soluções são
e
.
3) Portanto os pontos de interseção com o eixo são
e
.
3) Portanto os pontos de interseção com o eixo
Passo 5
Item 03 — pontos do gráfico de
com ordenada zero.
- Procuramos
tais que . Factorizo o lado:
- Isso zera quando
ou . Da segunda equação vem
- Portanto as ordenadas zero ocorrem nos pontos
, e .
Passo 6
Item 04 — existe raiz real para
? Em que intervalo?
- Defino
. Polinômio ⇒ contínuo. - Avalio em
e :
- Aqui
e . Houve troca de sinal entre e . Pelo TVI existe tal que . Portanto a equação tem ao menos uma raiz real e existe uma raiz em .
(Observação didática extra: polinômios de grau ímpar sempre têm pelo menos uma raiz real. Aqui usamos um intervalo explícito obtido por avaliar em pontos simples.)
Passo 7
Item 05 — mostrar que
tem raiz.
- Defino
, que é polinômio e portanto contínuo. - Avalio em
e :
- Como
e , pelo TVI existe tal que . Logo a equação tem pelo menos uma raiz em .
(Bônus didático sobre unicidade:
para todo
, portanto
é estritamente crescente e assim a raiz em
é única.)
Passo 8
Item 06 — mostrar que
tem raiz.
- Defino
, polinômio ⇒ contínuo. - Avalio em
e :
- Como
e , pelo TVI existe tal que . Portanto a equação tem pelo menos uma raiz real em .
Resposta
- Sim. Existe raiz em
; a raiz exata é . - Corta em
e . - Pontos:
, e . - Sim; existe ao menos uma raiz em
. - Sim; existe ao menos uma raiz em
(e é única). - Sim; existe ao menos uma raiz em
.