3) Responder a cada item, justificando sua resposta:

  1. A equação x^{2}-2=0, possui alguma raiz no intervalo [-2,-1] ?
  2. Em quais pontos a função f dada por f(x)=x^{2}-9 corta o eixo X ?
  3. Determinar os pontos do gráfico de f, dada por f(x)=x^{3}-3 x, em que a sua ordenada é zero.
  4. A equação x^{3}-3 x-1=0 possi alguma raiz real? Em qual intervalo?
  5. Mostrar que a equação x^{3}+x-1=0 tem raiz.
  6. Mostrar que a equação x^{7}+5 x^{3}+x-6=0 tem raiz.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e quais funções/ecuações foram dadas (sem resolver nada ainda).
  1. Pergunta: A equação \,x^{2}-2=0\, possui alguma raiz no intervalo [-2,-1]?
    Dado: a equação \,x^{2}-2=0\,.
  2. Pergunta: Em quais pontos a função f dada por \,f(x)=x^{2}-9\, corta o eixo X?
    Dado: a função \,f(x)=x^{2}-9\,.
  3. Pergunta: Determinar os pontos do gráfico de f, dada por \,f(x)=x^{3}-3x\,, em que a sua ordenada é zero.
    Dado: a função \,f(x)=x^{3}-3x\,.
  4. Pergunta: A equação \,x^{3}-3x-1=0\, possui alguma raiz real? Em qual intervalo?
    Dado: a equação \,x^{3}-3x-1=0\,.
  5. Pergunta: Mostrar que a equação \,x^{3}+x-1=0\, tem raiz.
    Dado: a equação \,x^{3}+x-1=0\,.
  6. Pergunta: Mostrar que a equação \,x^{7}+5x^{3}+x-6=0\, tem raiz.
    Dado: a equação \,x^{7}+5x^{3}+x-6=0\,.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar (mini-aula): Teorema do Valor Intermediário / Bolzano e continuidade de polinômios.
  • Fato importante: todo polinômio é uma função continua em \mathbb{R}. Isso significa que, se \,g(x)\, é polinômio e \,g(a) e \,g(b) têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que \,g\text{(c)}=0\,. Essa é a ideia do Teorema do Valor Intermediário (TVI).
  • Em linguagem simples: se a curva vai de um lado do eixo x para o outro sem “pular”, ela precisa cruzar o eixo x.
Vou usar isso várias vezes: avaliar o polinômio em dois pontos e checar sinal oposto implica existência de raiz num intervalo entre esses pontos.

Passo 3

Item 01 — analisar \,x^{2}-2=0\, no intervalo [-2,-1].
  1. Defino f(x)=x^{2}-2. Como f é polinômio, é continua.
  2. Calculo \,f(-2) e \,f(-1):
f(-2)=(-2)^{2}-2=4-2=2
f(-1)=(-1)^{2}-2=1-2=-1
  1. Como \,f(-2)=2>0\, e \,f(-1)=-1<0\,, houve troca de sinal entre -2 e -1. Pelo TVI existe pelo menos um c\in(-2,-1) tal que \,f\text{(c)}=0\,. Logo há uma raiz dentro do intervalo pedido.
  2. (Bônus didático: resolver a equação explicitamente) Resolvendo \,x^{2}-2=0\, obtemos
x=\pm\sqrt{2}.
Assim a raiz negativa é \,x=-\sqrt{2}\approx-1,414, que pertence ao intervalo [-2,-1]. Isso confirma e dá a raiz exata.

Passo 4

Item 02 — pontos onde \,f(x)=x^{2}-9\, corta o eixo X.
  1. Corta o eixo X quando \,f(x)=0, isto é, \,x^{2}-9=0\,.
  2. Factorizo ou uso raiz quadrada:
x^{2}-9=(x-3)(x+3)
Logo as soluções são \,x=3\, e \,x=-3\,.
3) Portanto os pontos de interseção com o eixo X são \,(3,0) e (-3,0).

Passo 5

Item 03 — pontos do gráfico de \,f(x)=x^{3}-3x\, com ordenada zero.
  1. Procuramos \,x tais que \,x^{3}-3x=0. Factorizo o lado:
x^{3}-3x=x(x^{2}-3).
  1. Isso zera quando \,x=0\, ou \,x^{2}-3=0. Da segunda equação vem
x^{2}=3\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{3}.
  1. Portanto as ordenadas zero ocorrem nos pontos (0,0), (\sqrt{3},0) e (-\sqrt{3},0).

Passo 6

Item 04 — existe raiz real para \,x^{3}-3x-1=0\,? Em que intervalo?
  1. Defino g(x)=x^{3}-3x-1. Polinômio ⇒ contínuo.
  2. Avalio em x=1 e x=2:
g(1)=1^{3}-3\cdot1-1=1-3-1=-3
g(2)=2^{3}-3\cdot2-1=8-6-1=1
  1. Aqui \,g(1)=-3<0\, e \,g(2)=1>0. Houve troca de sinal entre 1 e 2. Pelo TVI existe c\in(1,2) tal que \,g\text{(c)}=0. Portanto a equação tem ao menos uma raiz real e existe uma raiz em (1,2).
(Observação didática extra: polinômios de grau ímpar sempre têm pelo menos uma raiz real. Aqui usamos um intervalo explícito obtido por avaliar em pontos simples.)

Passo 7

Item 05 — mostrar que \,x^{3}+x-1=0\, tem raiz.
  1. Defino h(x)=x^{3}+x-1, que é polinômio e portanto contínuo.
  2. Avalio em x=0 e x=1:
h(0)=0^{3}+0-1=-1
h(1)=1^{3}+1-1=1
  1. Como \,h(0)=-1<0\, e \,h(1)=1>0, pelo TVI existe c\in(0,1) tal que \,h\text{(c)}=0. Logo a equação tem pelo menos uma raiz em (0,1).
(Bônus didático sobre unicidade: h'(x)=3x^{2}+1>0 para todo x, portanto h é estritamente crescente e assim a raiz em (0,1) é única.)

Passo 8

Item 06 — mostrar que \,x^{7}+5x^{3}+x-6=0\, tem raiz.
  1. Defino p(x)=x^{7}+5x^{3}+x-6, polinômio ⇒ contínuo.
  2. Avalio em x=0 e x=1:
p(0)=0+0+0-6=-6
p(1)=1^{7}+5\cdot1^{3}+1-6=1+5+1-6=1
  1. Como \,p(0)=-6<0\, e \,p(1)=1>0, pelo TVI existe c\in(0,1) tal que \,p\text{(c)}=0. Portanto a equação tem pelo menos uma raiz real em (0,1).

Resposta

  1. Sim. Existe raiz em [-2,-1]; a raiz exata é -\sqrt{2}.
  2. Corta em (-3,0) e (3,0).
  3. Pontos: (0,0), (\sqrt{3},0) e (-\sqrt{3},0).
  4. Sim; existe ao menos uma raiz em (1,2).
  5. Sim; existe ao menos uma raiz em (0,1) (e é única).
  6. Sim; existe ao menos uma raiz em (0,1).

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