Determinar:
09)
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Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
onde
é uma constante (valor fixo, real). Informações importantes retiradas do enunciado:
- A expressão é
. - A variável
tende para . - Para
suficientemente grande, é positivo, logo as raízes quadradas estão bem definidas para .
O que se pede: calcular o limite quandocresce sem limite.
Passo 2
Motivação e ideia geral (sem calcular ainda): quando subtrai duas quantidades que crescem como
, o resultado pode tender a zero porque as duas parcelas crescem no mesmo ritmo. Uma técnica padrão para esse tipo de expressão é multiplicar numerador e denominador pela conjugada para eliminar a diferença de raízes e obter uma forma mais fácil de analisar. Vou aplicar essa técnica a seguir.
Passo 3
Racionalização usando a conjugada. Multiplico e divido por
:
No numerador, o produto é diferença de quadrados:
Portanto a expressão se reescreve como
Passo 4
Analisar o limite da forma reescrita. Temos
Para estudar esse limite, fatoro
no denominador:
Passo 5
Tomar os limites parciais. Quando
tem-se
, então
Logo o fator entre parênteses tende para
. E
. Assim o denominador
tende para
, para qualquer
fixo. Consequentemente a fração tende para
. Podemos também ver a ordem de decaimento:
o que mostra explicitamente que o valor vai para
.
Passo 6
Conclusão final: o limite existe e vale
para qualquer constante real
(desde que consideremos
suficientemente grande para que as raízes sejam reais).