Determinar:
09) \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x+a}-\sqrt{x})\

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x+a}-\sqrt{x}\bigr),
onde a é uma constante (valor fixo, real). Informações importantes retiradas do enunciado:
  • A expressão é \sqrt{x+a}-\sqrt{x}.
  • A variável x tende para +\infty.
  • Para x suficientemente grande, x+a é positivo, logo as raízes quadradas estão bem definidas para x\to+\infty.
    O que se pede: calcular o limite quando x cresce sem limite.

Passo 2

Motivação e ideia geral (sem calcular ainda): quando subtrai duas quantidades que crescem como \sqrt{x}, o resultado pode tender a zero porque as duas parcelas crescem no mesmo ritmo. Uma técnica padrão para esse tipo de expressão é multiplicar numerador e denominador pela conjugada para eliminar a diferença de raízes e obter uma forma mais fácil de analisar. Vou aplicar essa técnica a seguir.

Passo 3

Racionalização usando a conjugada. Multiplico e divido por \sqrt{x+a}+\sqrt{x}:
\sqrt{x+a}-\sqrt{x} = \frac{\bigl(\sqrt{x+a}-\sqrt{x}\bigr)\bigl(\sqrt{x+a}+\sqrt{x}\bigr)}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x}}.
No numerador, o produto é diferença de quadrados:
\bigl(\sqrt{x+a}-\sqrt{x}\bigr)\bigl(\sqrt{x+a}+\sqrt{x}\bigr) = (x+a)-x = a.
Portanto a expressão se reescreve como
\sqrt{x+a}-\sqrt{x} = \frac{a}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x}}.

Passo 4

Analisar o limite da forma reescrita. Temos
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x+a}-\sqrt{x}\bigr) = \lim_{x\to+\infty}\frac{a}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x}}.
Para estudar esse limite, fatoro \sqrt{x} no denominador:
\frac{a}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x}} = \frac{a}{\sqrt{x}\!\left(\sqrt{1+\dfrac{a}{x}}+1\right)}.

Passo 5

Tomar os limites parciais. Quando x\to+\infty tem-se \dfrac{a}{x}\to 0, então
\sqrt{1+\dfrac{a}{x}}\to 1.
Logo o fator entre parênteses tende para 1+1=2. E \sqrt{x}\to+\infty. Assim o denominador \sqrt{x}\!\left(\sqrt{1+\dfrac{a}{x}}+1\right) tende para +\infty, para qualquer a fixo. Consequentemente a fração tende para 0. Podemos também ver a ordem de decaimento:
\frac{a}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x}}\sim \frac{a}{2\sqrt{x}}\quad\text{quando }x\to+\infty,
o que mostra explicitamente que o valor vai para 0.

Passo 6

Conclusão final: o limite existe e vale 0 para qualquer constante real a (desde que consideremos x suficientemente grande para que as raízes sejam reais).

Resposta

0

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