Determine os valores das constantes A e B para que a função f seja contínua em \mathbb{R}. f(x)=\left\{\begin{aligned} A(x+1)^{2}+B, & \text { se } x<-1 \\\\ -|x|+1, & \text { se }-1 \leq x<1 \\\ A(x-2)^{2}+B, & \text { se } x \geq 1\end{aligned}\right.
e pede para determinar os valores das constantes A e B para que f seja contínua em \mathbb{R}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Há três ramos da função, cada um válido em um intervalo diferente de x.
O ramo do meio é -|x|+1 definido em [-1,1).
O ramo da esquerda é A(x+1)^{2}+B válido para x<-1.
O ramo da direita é A(x-2)^{2}+B válido para x\ge 1.
A continuidade em \mathbb{R} exige que não haja descontinuidades em nenhum ponto; os únicos pontos onde a definição muda são x=-1 e x=1. Esses são, portanto, os pontos que precisam ser verificados.]
Passo 2
Entendendo o que significa "função contínua em \mathbb{R}" (explicação didática):
Uma função é contínua num ponto x_0 se o limite quando x se aproxima de x_0 é igual ao valor da função naquele ponto; ou seja,
\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0).
Para funções definidas por partes, só há risco de descontinuidade nos pontos onde a fórmula muda. Em pontos interiores de um ramo que é polinomial ou |x| (como aqui), esses ramos são contínuos em todos os pontos internos aos seus intervalos.
Portanto, verificamos continuidade apenas em x=-1 e x=1, exigindo que os limites laterais existam e coincidam com o valor da função definido no ponto.
Passo 3
Continuidade em x=-1: identificar limites laterais e valor da função
Como o ramo da esquerda é válido para x<-1, o limite pela esquerda em x=-1 é dado por avaliar A(x+1)^{2}+B em x\to-1^{-}. Como (x+1)^{2} é contínuo, o limite é simplesmente a substituição x=-1:
O valor da função em x=-1 vem do ramo do meio (pois -1\le x<1), então
f(-1) = -|{-1}|+1 = -1+1 = 0.
Para continuidade em x=-1 precisamos que o limite pela esquerda seja igual ao valor em -1. Logo impomos
B = 0.
Passo 4
Interpretação e consequência do resultado de x=-1:
Encontramos que B deve ser 0 para que não haja salto em -1.
Anotar que ainda falta verificar x=1. Até aqui temos B=0 como condição necessária.
Passo 5
Continuidade em x=1: identificar limites laterais e valor da função
O ramo do meio é válido até x<1, então o limite pela esquerda em x=1 é obtido com a expressão -|x|+1 quando x\to 1^{-}. Para x próximo de 1 pelo lado esquerdo temos |x|=x, então
O valor da função em x=1 vem do ramo da direita (pois x\ge 1), logo
f(1)=A(1-2)^{2}+B = A\cdot 1^{2}+B = A+B.
Para continuidade em x=1 precisamos que o limite pela esquerda (que é 0) seja igual a f(1). Assim impomos
A+B=0.
Passo 6
Resolver o sistema para A e B
Já obtivemos de x=-1 que B=0.
Substituindo B=0 na equação de x=1, A+B=0, obtemos
A+0=0 \quad\Rightarrow\quad A=0.
Portanto as constantes que garantem continuidade são A=0 e B=0.
Passo 7
Verificação final (breve):
Com A=0 e B=0 os ramos polinomiais ficam identicamente zero nos pontos de contato: à esquerda A(x+1)^2+B=0 em x=-1 e à direita A(x-2)^2+B=0 em x=1. O ramo do meio toma os valores 0 em x=-1 e em limite para x\to1^{-} também dá 0. Como cada ramo é contínuo no seu interior e as igualdades nos pontos de junção foram satisfeitas, a função é contínua em todos os pontos de \mathbb{R}.