Verfique se as funções dadas são contínuas no(s) ponto(s) x_{0} dado(s).
f(x)=\left\{\begin{array}{rll}\frac{\operatorname{sen} x}{x}, & \text { se } x<0 & \\\\ 2, & \text { se } x=0 & \text { em } x_{0}=0 . \\\ \frac{\tan x}{x}, & \text { se } x>0 & \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função é contínua no ponto x_{0}=0\). A função dada é por partes: \[f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{\sin x}{x}, & \text{se } x<0,\\[6pt] 2, & \text{se } x=0,\\[6pt] \displaystyle \frac{\tan x}{x}, & \text{se } x>0. \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O valor de f\] em \(0 é f(0)=2.
  • Para x<0 a expressão é \dfrac{\sin x}{x}.
  • Para x>0 a expressão é \dfrac{\tan x}{x}.
    O que se pede: decidir se f é contínua em x_{0}=0.]

Passo 2

Definição útil (aquela que vamos usar): uma função f é contínua em x_{0} se, e somente se,
\lim_{x\to x_{0}} f(x)=f(x_{0}).
Para um ponto interior como x_{0}=0 (no sentido de limite em \mathbb{R}) isso exige que as duas limites unilaterais existam e sejam iguais:
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^+} f(x)=f(0).
Portanto, vamos calcular \lim_{x\to 0^-}\dfrac{\sin x}{x} e \lim_{x\to 0^+}\dfrac{\tan x}{x} e comparar com f(0)=2.

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda:
\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x}{x}.
Aqui vale um limite clássico e muito usado: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. Esse resultado vale indiferente da direção (esquerda ou direita), logo
\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x}{x}=1.
Breve explicação desse fato (intuição/justificação): para x pequeno a relação entre \sin x e x é muito próxima de 1; uma justificativa padrão usa o Teorema do Confronto (squeeze): para 0<x<\tfrac{\pi}{2} tem-se \cos x \le \dfrac{\sin x}{x}\le 1; passando ao limite x\to0^+ obtém-se 1\le \lim \dfrac{\sin x}{x}\le 1, logo o limite é 1. Por simetria da função \dfrac{\sin x}{x} (é par quando estendido por continuidade), o mesmo limite vale vindo da esquerda.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita:
\lim_{x\to 0^+}\frac{\tan x}{x}.
Escrevemos \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, então
\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}.
Usamos propriedades de limites: se \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1 e \lim_{x\to0}\cos x=1, então
\lim_{x\to 0^+}\frac{\tan x}{x}=\left(\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\cos x}\right)=1\cdot\frac{1}{1}=1.
Portanto
\lim_{x\to 0^+}\frac{\tan x}{x}=1.

Passo 5

Conclusão sobre o limite total em 0: como as duas limites unilaterais existem e são iguais,
\lim_{x\to 0^-}f(x)=1\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^+}f(x)=1,
logo
\lim_{x\to 0} f(x)=1.
Mas o valor da função em 0 dado no enunciado é f(0)=2. Pela definição de continuidade isso quebra a igualdade necessária \lim_{x\to 0} f(x)=f(0). Portanto f NÃO é contínua em x_{0}=0.

Passo 6

Classificação do tipo de descontinuidade e observação prática: aqui os limites laterais coincidem e valem 1, porém o valor atribuído em 0 é 2. Esse é o caso clássico de descontinuidade removível — “removível” porque se redefiníssemos f(0):=1 a função ficaria contínua em 0.

Resposta

Não é contínua em x_{0}=0. \lim_{x\to0}f(x)=1\neq f(0)=2.

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